Helmholtz interior problem: coupling a modal expansion and an integral representation - Archive ouverte HAL
Article Dans Une Revue Comptes Rendus. Mathématique Année : 2005

Helmholtz interior problem: coupling a modal expansion and an integral representation

Problème de Helmholtz intérieur : formulation modale couplée à une représentation intégrale

Résumé

Let Ω be an opened domain of R3 with a boundary Γ. The problem numbered (1) in the text has a unique solution in H1(Ω), if k ∈ R, R e (1/ζ) > 0 on a part of Γ the area S of which is different from 0 and g(k, y, ε) ∈ H1/2 (Γ). ε is the damping of an elastic structure and ζ is the normalized acoustic impedance of the internal wall of the cavity. ε and 1/ζ are small parameters. Thanks to a proper modal expansion and a mean over a narrow band of wave number k, an integral relation between the trace of u on Γ, ζ, ε and g, is built to the first order ϑ(1/ζ, ε) in 1/ζ and ε, using the residue theorem. It is not an equivalent equation to the problem, but just a step towards its resolution, which will be published in future papers.
Soit Ω un domaine ouvert de R3 de frontière Γ. Le problème numéroté (1) dans le texte admet une solution unique dans H1(Ω), si k ∈ R, R e (1/ζ) > 0 sur une portion de Γ d'aire S non nulle et g(k, y, ε) ∈ H1/2 (Γ). ε correspond à l'amortissement d'une structure élastique et ζ est l'impédance acoustique normalisée de la paroi interne de la cavité. ε et 1/ζ sont des petits paramètres. Par une décomposition modale adaptée et la réalisation d'une moyenne sur une bande étroite de nombre d'onde k, une relation intégrale entre la trace de u sur Γ, ζ, ε et g, est construite au premier ordre ϑ(1/ζ, ε) en 1/ζ et ε, par l'intermédiaire du théorème des résidus. Il ne s'agit pas d'une équation équivalente au problème, mais d'une étape vers sa résolution, qui fera l'objet de publications ultérieures.
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hal-03649985 , version 1 (26-04-2022)
hal-03649985 , version 2 (20-04-2024)
hal-03649985 , version 3 (27-12-2024)

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Citer

Dominique Brenot. Helmholtz interior problem: coupling a modal expansion and an integral representation. Comptes Rendus. Mathématique, 2005, 340 (10), pp.779-784. ⟨10.1016/j.crma.2004.12.024⟩. ⟨hal-03649985v1⟩
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