La théorie de la rigidité est la branche des mathématiques qui étudie les plongements (ou équivalents, les réalisations) de graphes dans un espace euclidien ou une variété. Si le nombre de réalisations satisfaisant des contraintes de longueur d'arête est fini jusqu'aux mouvements rigides, alors le plongement est appelé rigide, sinon il est appelé flexible. Ces plongements peuvent être liés aux solutions réelles de certains systèmes algébriques et leurs solutions complexes étendent la notion de rigidité à $\mathbb{C}^d$. Un des problèmes ouverts majeurs en théorie de la rigidité est de trouver des bornes supérieures serrées sur le nombre de réalisations de graphes rigides dans un espace d'incorporation pour un nombre donné de sommets. Pour un graphe minimalement rigide $G(V,E)$, la borne supérieure des plongements dans $\mathbb{R}^d$ était autrefois $O\left(2^{d \cdot |V|}\right)$, alors que pour les cas de $d=2$ et $d=3$, il a été prouvé qu'il existe des graphes avec respectivement $\Omega\left(2.3003^{|V|}\right)$ et $\Omega\left(2.5198^{|V|}\right)$ réalisations. Dans cette thèse, nous présentons des méthodes qui réduisent l'écart entre les bornes supérieures existantes et les bornes inférieures asymptotiques sur le nombre maximal de réalisations dans des espaces euclidiens ou des sphères. Nous proposons deux méthodes pour calculer une borne sur le nombre de réalisations en utilisant la borne de Bézout multihomogène (m-Bézout) de systèmes algébriques bien contraints. La première relie la borne de m-Bézout au nombre de certaines orientations de graphes contraints en degré sortant, tandis que la seconde utilise une formulation de la permanent d'une matrice. Ensuite, nous examinons la précision de ces bornes sur le nombre de plongements complexes, d'abord avec des calculs indiquant que les bornes de m-Bézout sont serrées pour certaines classes de graphes. En conséquence, nous exploitons le deuxième théorème de Bernstein sur la précision du volume mixte, et le relions à la borne de m-Bézout en analysant les polytopes de Newton associés. En utilisant ces deux méthodes, nous améliorons les bornes supérieures sur le nombre de plongements de graphes. Une première amélioration est réalisée pour les réalisations de graphes dans $d\geq 5$ et les graphes planaires dans $\mathbb{C}^3$ en appliquant des bornes existantes sur les permanents et les orientations de graphes planaires. Ensuite, nous introduisons une technique d'élimination sur une construction graphique qui réduit davantage ces bornes dans toutes les dimensions. Cette approche donne des bornes de $O\left(3.7764^{|V|}\right)$ et $O\left(6.8399^{|V|}\right)$ pour $d=2$ et $d=3$ respectivement, ce qui constitue la première amélioration de la borne supérieure asymptotique pour ces cas. Enfin, nous essayons de trouver des longueurs d'arête qui maximisent le nombre de plongements réels dans le plan, l'espace et sur la sphère pour certains graphes. Pour y parvenir, nous utilisons des méthodes qui échantillonnent efficacement un vaste espace de paramètres. Nos résultats fournissent une classification complète selon leur nombre maximal de plongements réels de tous les graphes à 7 sommets dans $\mathbb{R}^2$ et $\mathbb{R}^3$, tandis que pour le cas précédemment non traité de $S^2$, nous donnons une caractérisation complète de tous les graphes à 6 sommets. Nous établissons également de nouvelles bornes inférieures asymptotiques sur le nombre maximal de réalisations (ou simplement \emph{bornes inférieures}), prouvant qu'il existe dans $\mathbb{R}^2, S^2$ et $\mathbb{R}^3$ des graphes avec respectivement $\Omega\left(2.3780^{|V|}\right)$, $\Omega\left(2.5198^{|V|}\right)$ et $\Omega\left(2.6553^{|V|}\right)$ plongements.