Sparse spectral surrogate models for deterministic and stochastic computer simulations - Archive ouverte HAL Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2022

Sparse spectral surrogate models for deterministic and stochastic computer simulations

Modèles de substitution spectraux épars pour les simulateurs déterministes et stochastiques

Résumé

Computer simulations are an invaluable tool for modeling and investigating real-world phenomena and processes. However, as any model, simulations are affected by uncertainty caused by imperfect knowledge or natural variability of their parameters, initial conditions, or input values. This leads to uncertainty in the model response, which needs to be quantified to make subsequent conclusions and decisions trustworthy. To alleviate the considerable cost of uncertainty analyses for expensive computational models, the latter are often replaced by surrogates, i.e., by approximations with an explicit functional form that can be created based on a rather small number of model evaluations, and can be evaluated at low cost. Some computer models are affected by uncertainty only through their input parameters: for fixed values of the inputs, they always produce the same response. These models are called deterministic simulators. In contrast, models that feature inherent stochasticity are called stochastic simulators. The latter generate a different result each time they are run even if their input parameters are held at fixed values. In other words, they behave like random fields whose index set is the space of input parameters. In this thesis, we investigate spectral surrogate models, which are a class of global non-intrusive methods that expand the computational model onto an orthonormal basis of a suitable function space. We focus on sparse expansions, i.e., representations that only include a small finite subset of the basis elements. Sparse representations are typically computed by regression with sparsity-encouraging constraints, often using ideas originating from the field of compressed sensing. In particular, for deterministic simulators we explore the popular sparse polynomial chaos expansions (PCE) method, which utilizes a polynomial basis that is orthonormal with respect to the distribution of the input variables. We conduct an extensive literature survey as well as a benchmark of several promising methods on multiple models of varying dimensionality and complexity. The benchmark results are aggregated and visualized in a novel way to extract reliable recommendations about which methods should be used in practice. We also investigate the recently proposed Poincaré chaos expansions, which rely on a generally non-polynomial basis consisting of eigenfunctions of a specific differential operator connected to the Poincaré inequality. By construction, this basis is well suited for derivative-based global sensitivity analysis, which we explore both analytically and numerically. Furthermore, we propose a new surrogate model for stochastic simulators. Taking the random function view of a stochastic simulator, we approximate its trajectories by sparse PCE and perform Karhunen-Loève expansion on them. The latter is a well-known spectral representation for a random field which separately characterizes its spatial and stochastic variation. The joint distribution of the random coefficients is inferred using the marginal-copula framework. The resulting surrogate model is able to approximate marginal distributions, mean, and covariance function of the stochastic simulator, and can generate new trajectories.
Les simulations constituent un outil inestimable pour la modélisation et l'étude des phénomènes et processus du monde réel. Cependant, comme tout modèle, les simulations sont affectées par l'incertitude causée par la connaissance imparfaite ou la variabilité naturelle de leurs paramètres, des conditions initiales ou des valeurs d'entrée. Il en résulte une incertitude dans la réponse du modèle, qui doit être quantifiée pour que les conclusions et les décisions ultérieures soient fiables. Pour réduire le coût considérable des analyses d'incertitude pour les modèles coûteux, ces derniers sont souvent remplacés par des modèles de substitution, c'est-à-dire par des approximations ayant une forme fonctionnelle explicite qui peuvent être créées sur la base d'un nombre relativement faible d'évaluations de modèles, et qui peuvent être évaluées à faible coût. Certains modèles ne sont affectés par l'incertitude qu'à travers leurs paramètres d'entrée : pour des valeurs fixes des entrées, ils produisent toujours la même réponse. Ces modèles sont appelés simulateurs déterministes. En revanche, les modèles qui présentent une stochasticité inhérente sont appelés simulateurs stochastiques. Ces derniers génèrent un résultat différent à chaque fois qu'ils sont exécutés, même si leurs paramètres d'entrée sont maintenus à des valeurs fixes. En d'autres termes, ils se comportent comme des champs aléatoires dont l'ensemble d'index est l'espace des paramètres d'entrée. Dans cette thèse, nous étudions les modèles de substitution spectraux, qui sont une classe de méthodes globales non intrusives qui étendent le modèle numérique sur une base orthonormée d'un espace de fonctions approprié. Nous nous concentrons sur les expansions éparses, c'est-à-dire les représentations qui n'incluent qu'un petit sous-ensemble fini des fonctions de base. Ces représentations éparses sont généralement calculées par régression avec des contraintes favorisant l'éparpillement, en utilisant souvent des idées issues du domaine de la détection comprimée. En particulier, pour les simulateurs déterministes, nous explorons la méthode populaire des polynômes de chaos (PC), qui utilise une base polynomiale orthonormée par rapport à la distribution des variables d'entrée. Nous effectuons une revue approfondie de la littérature ainsi qu'une analyse comparative de plusieurs méthodes prometteuses sur de multiples modèles de dimensionnalité et de complexité variables. Les résultats de ces comparaisons sont agrégés et visualisés d'une nouvelle manière afin d'extraire des recommandations fiables sur les méthodes à utiliser dans la pratique. Nous étudions également les expansions du chaos de Poincaré récemment proposées, qui reposent sur une base généralement non polynomiale constituée de fonctions propres d'un opérateur différentiel spécifique lié à l'inégalité de Poincaré. Par construction, cette base est bien adaptée à l'analyse de sensibilité globale basée sur les dérivées, que nous explorons à la fois analytiquement et numériquement. En outre, nous proposons un nouveau modèle de substitution pour les simulateurs stochastiques. En prenant le point de vue d'une fonction aléatoire d'un simulateur stochastique, nous approximons ses trajectoires par un PC épar et effectuons une transformation de Karhunen-Loève sur celles-ci. Cette dernière est une représentation spectrale bien connue pour un champ aléatoire, qui caractérise séparément sa variation spatiale et stochastique. La représentation de la loi jointe des coefficients aléatoires combine l'inférence de la copule avec celle des lois marginales. Ce modèle de substitution résultant est capable d'approximer les lois marginales, la moyenne et la fonction de covariance du simulateur stochastique, et peut générer de nouvelles trajectoires.
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tel-04284700 , version 1 (20-11-2023)

Licence

Paternité

Identifiants

Citer

Nora Lüthen. Sparse spectral surrogate models for deterministic and stochastic computer simulations. Statistics [math.ST]. ETH Zürich, 2022. English. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-04284700⟩

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CNRS
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