Sparse random graphs: from local specifications to global phenomena
Graphes aléatoires peu denses : de spécifications locales vers des phénomènes globaux
Résumé
This thesis is devoted to the study of different random graphs, defined by local properties (such
as the distribution of the degrees of the vertices, or the probability that two given vertices share
an edge). We investigate some of their global characteristics, in particular their geometry and
the behaviour of random walks. It consists of three independent parts. In each of them, the
local limit of the random graph is a tree, and a fine comparison between the tree and the graph
allows to implement properties of the former on the latter.
• The first part (Chapter 2) is about the scaling limit of a critical random graph, more pre-
cisely a configuration model with independent and identically distributed degrees having
power-law heavy tail behaviour: there is a variance, but no third moment. It was known
that the largest connected components of this graph scale like Θ(n a ) if the graph is on n
vertices, for some model-dependent constant a. We prove that their structure converges
to a biased version of a particular random R-tree, the stable tree, to which one adds a
finite number of cycles.
• The second part (Chapter 3) is devoted to the Gaussian free field on random d-regular
graphs. We study its percolation above a fixed level. If this level is below a certain critical
threshold, we establish the emergence with high probability of a unique giant component
containing a positive proportion of the vertices, surrounded by islets of logarithmic size,
while only the latter survive above the critical threshold. We show that this big continent
shares remarkable similarities with the giant component of a famous random graph, the
Erdős-Rényi model.
• The third part (Chapter 4) deals with random walks on random lifts of an arbitrary
finite base graph. Random lifts are sparse graphs with good connectivity properties and
a regular structure, the associated tree being periodic. We prove that the random walk
on these graphs admits a cutoff, i.e. there is a brutal transition between the time when it
is still localized around its starting point, and the time when we have completely lost its
track.
The last two parts have been realized in Paris under the supervision of Justin Salez, between
2017 and 2021. The first part stems from a collaboration with Christina Goldschmidt (Oxford
Statistics), started in 2016 during a research internship and continued until 2020.
Cette thèse est consacrée à l’étude de différents graphes aléatoires, définis par des propriétés
locales (comme la distribution des degrés des sommets ou la probabilité que deux sommets
donnés soient reliés par une arête), et dont on cherche à déterminer des caractéristiques globales,
notamment leur géométrie et le comportement de marches aléatoires. Elle se compose de trois
parties indépendantes. À chaque fois, le graphe aléatoire étudié admet un arbre comme limite
locale, et une comparaison fine entre l’arbre et le graphe permet de transposer des propriétés
du premier au second.
• La première partie (Chapitre 2) porte sur la limite d’échelle d’un graphe aléatoire critique,
un modèle de configuration avec des degrés indépendants et distribués selon une même
loi de puissance à queue lourde : elle a une variance, mais pas de troisième moment. Il
était connu que les plus grandes composantes connexes de ce graphe ont une taille Θ(n a )
pour un graphe à n sommets, le paramère a dépendant du modèle. On montre que leur
structure converge vers une version biaisée d’un arbre aléatoire continu particulier, l’arbre
stable, auquel on rajoute un nombre fini de cycles.
• La seconde partie (Chapitre 3) est consacrée au champ libre gaussien sur des graphes
aléatoires d-réguliers. On étudie la percolation du champ libre au-dessus d’un niveau fixé.
Si on baisse ce niveau en-dessous d’un certain seuil critique, on établit l’émergence avec
grande probabilité d’une unique composante connexe géante englobant une proportion
positive des sommets, entourée d’ilôts de taille logarithmique, tandis que seuls ces derniers
survivent au-dessus du seuil critique. On montre alors que ce grand continent admet
de remarquables similitudes avec la composante géante d’un graphe aléatoire célèbre, le
modèle d’Erdős-Rényi.
• La troisième partie (Chapitre 4) traite de marches aléatoires sur des relèvements aléatoires
(”random lifts”) d’un graphe fini quelconque donné. Ces relèvements sont des graphes peu
denses mais avec de bonnes propriétés de connectivité et une structure assez régulière,
l’arbre associé étant périodique. On prouve que la marche aléatoire sur ces graphes admet
un cutoff, c’est-à-dire qu’il y a une transition brusque entre le moment où le marcheur
est encore localisé autour de son point de départ, et celui où on a définitivement perdu sa
trace.
Les deux dernières parties ont été réalisées à Paris sous la direction de Justin Salez entre 2017 et
2021. La première est issue d’une collaboration avec Christina Goldschmidt (Oxford Statistics),
initiée en 2016 lors d’un stage de recherche et poursuivie jusqu’en 2020.
| Origine | Fichiers produits par l'(les) auteur(s) |
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