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            <abstract xml:lang="en">
              <p>This thesis is devoted to the study of different random graphs, defined by local properties (suchas the distribution of the degrees of the vertices, or the probability that two given vertices sharean edge). We investigate some of their global characteristics, in particular their geometry andthe behaviour of random walks. It consists of three independent parts. In each of them, thelocal limit of the random graph is a tree, and a fine comparison between the tree and the graphallows to implement properties of the former on the latter.• The first part (Chapter 2) is about the scaling limit of a critical random graph, more pre-cisely a configuration model with independent and identically distributed degrees havingpower-law heavy tail behaviour: there is a variance, but no third moment. It was knownthat the largest connected components of this graph scale like Θ(n a ) if the graph is on nvertices, for some model-dependent constant a. We prove that their structure convergesto a biased version of a particular random R-tree, the stable tree, to which one adds afinite number of cycles.• The second part (Chapter 3) is devoted to the Gaussian free field on random d-regulargraphs. We study its percolation above a fixed level. If this level is below a certain criticalthreshold, we establish the emergence with high probability of a unique giant componentcontaining a positive proportion of the vertices, surrounded by islets of logarithmic size,while only the latter survive above the critical threshold. We show that this big continentshares remarkable similarities with the giant component of a famous random graph, theErdős-Rényi model.• The third part (Chapter 4) deals with random walks on random lifts of an arbitraryfinite base graph. Random lifts are sparse graphs with good connectivity properties anda regular structure, the associated tree being periodic. We prove that the random walkon these graphs admits a cutoff, i.e. there is a brutal transition between the time when itis still localized around its starting point, and the time when we have completely lost itstrack.The last two parts have been realized in Paris under the supervision of Justin Salez, between2017 and 2021. The first part stems from a collaboration with Christina Goldschmidt (OxfordStatistics), started in 2016 during a research internship and continued until 2020.</p>
            </abstract>
            <abstract xml:lang="fr">
              <p>Cette thèse est consacrée à l’étude de différents graphes aléatoires, définis par des propriétéslocales (comme la distribution des degrés des sommets ou la probabilité que deux sommetsdonnés soient reliés par une arête), et dont on cherche à déterminer des caractéristiques globales,notamment leur géométrie et le comportement de marches aléatoires. Elle se compose de troisparties indépendantes. À chaque fois, le graphe aléatoire étudié admet un arbre comme limitelocale, et une comparaison fine entre l’arbre et le graphe permet de transposer des propriétésdu premier au second.• La première partie (Chapitre 2) porte sur la limite d’échelle d’un graphe aléatoire critique,un modèle de configuration avec des degrés indépendants et distribués selon une mêmeloi de puissance à queue lourde : elle a une variance, mais pas de troisième moment. Ilétait connu que les plus grandes composantes connexes de ce graphe ont une taille Θ(n a )pour un graphe à n sommets, le paramère a dépendant du modèle. On montre que leurstructure converge vers une version biaisée d’un arbre aléatoire continu particulier, l’arbrestable, auquel on rajoute un nombre fini de cycles.• La seconde partie (Chapitre 3) est consacrée au champ libre gaussien sur des graphesaléatoires d-réguliers. On étudie la percolation du champ libre au-dessus d’un niveau fixé.Si on baisse ce niveau en-dessous d’un certain seuil critique, on établit l’émergence avecgrande probabilité d’une unique composante connexe géante englobant une proportionpositive des sommets, entourée d’ilôts de taille logarithmique, tandis que seuls ces dernierssurvivent au-dessus du seuil critique. On montre alors que ce grand continent admetde remarquables similitudes avec la composante géante d’un graphe aléatoire célèbre, lemodèle d’Erdős-Rényi.• La troisième partie (Chapitre 4) traite de marches aléatoires sur des relèvements aléatoires(”random lifts”) d’un graphe fini quelconque donné. Ces relèvements sont des graphes peudenses mais avec de bonnes propriétés de connectivité et une structure assez régulière,l’arbre associé étant périodique. On prouve que la marche aléatoire sur ces graphes admetun cutoff, c’est-à-dire qu’il y a une transition brusque entre le moment où le marcheurest encore localisé autour de son point de départ, et celui où on a définitivement perdu satrace.Les deux dernières parties ont été réalisées à Paris sous la direction de Justin Salez entre 2017 et2021. La première est issue d’une collaboration avec Christina Goldschmidt (Oxford Statistics),initiée en 2016 lors d’un stage de recherche et poursuivie jusqu’en 2020.</p>
            </abstract>
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