Qualitative study of dispersive models.
Etude qualitative de modèles dispersifs.
Résumé
This thesis deals with the qualitative properties of solutions to some wave equations in dispersive
or dispersive-dissipative media. In the first part, we study the blowup in the log-log regime and
global existence of solutions to the Cauchy problem for the L^2
-critical damped nonlinear Schrö-dinger equations. In the second part, we consider the Cauchy problem for the L^2
-critical nonlinear
Schrödinger equation with a nonlinear damping. According to the power of the damping term, we
prove the global existence or the existence of finite time blowup dynamics with the log-log blowup
law. In the third part, we study the Cauchy problem for the Kadomtsev-Petviashvili-Burgers-I
(KPBI) equations in two dimensions. We show that this problem is locally and globally well posed
in H^s(R^2), s > −1/2.
In the last part, we consider the Ostrovsky equation on the circle, we construct an invariant measure
under the flow associated with the energy of the equation.
Dans cette thèse nous nous intéressons aux propriétés qualitatives des solutions de quelques
équations d’ondes en milieux dispersifs ou dispersifs-dissipatifs. Dans le premier chapitre nous
étudions l’explosion de solutions dans le régime log-log et l’existence globale pour le problème
de Cauchy associé à l’équation de Schrödinger L^2-critique amortie.
Dans le deuxième chapitre, nous considérons l’équation de Schrödinger L^2-critique avec un
amortissement non linéaire. Selon la puissance du terme d’amortissement, nous montrons l’existence
globale ou l’explosion en régime log-log.
Dans le troisième chapitre, nous étudions le problème de Cauchy pour l’équation de Kadomtsev Petviashvili-Burgers-I
(KPBI) en deux dimensions. Nous montrons que ce problème est localement
et globalement bien posé dans H^s(R^2), s > −1/2.
Dans le dernier chapitre, nous considèrons l’équation d’Ostrovsky sur le cercle, et nous construisons
une mesure invariante par le flot associée à l’energie de cette équation.
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