Hypernode graphs for learning from binary relations between sets of objects
Graphes d'hypernœuds pour l'apprentissage de relations binaires entre ensembles d'objets
Résumé
Graphs are commonly used as a powerful abstract model to represent complex relationships between individuals.
For (classical) graphs, pairwise relations are modeled by edges between vertices. This is for instance the case
for social networks with the friendship relation, or for computer networks with the connection relation.
The hypergraph formalism has been introduced in the 1970s for modeling complex problems where relationships
are no longer binary, which is when they involve more than two individuals. Hypergraphs have been used for
instance in bioinformatics, computer vision or natural language processing. But, graphs and hypergraphs are
limited when it comes to consider relationships between sets of individual objects. A typical example is the
case of multiplayer games where a game can be viewed as an established relationship between two (or more)
teams of multiple players. Other examples include relationships between groups in social networks or between
clusters in computer networks. For these problems, considering both the group level and the individual level is
a requisite.
We introduce and study a new data structure called hypernode graph specifically designed to handle this type
of higher-order relations.
We show that we can extend the notion of graph Laplacian and graph Kernel to this new class of objects. This
extension of the spectral learning framework is fully consistent with the graph case and allows us to design
efficient learning algorithms on top of our new data structure. We also show that our newly defined Laplacians
are strictly more expressive than graph Laplacians. Note that this property does not hold for instance in the
case of hypergraphs. We use our new formalism in order to design a new skill rating algorithm for multiple
players games. We estimate the relevance of the results using a predictive scheme (we predict new games using
the skills estimated in the past). Experimental results have shown that we obtain very competitive results
compared to specialized algorithms.
We also study in detail some important properties of the undirected hypergraphs and bring into focus some
fundamental links with the theory of signed graphs.
Les graphes sont communément utilisés en tant que modèle abstrait permettant de représenter des relations
complexes qui impliquent des couples d’individus. Chaque relation s’y voit associée à une arrête qui relie deux
sommets du graphe. On peut par exemple citer le cas des graphes construits `a partir de réseaux sociaux et o`u les
arrêtes représentent des relations d’amitiés entre utilisateurs ou le cas des graphes issus de réseaux informatiques
o`u chaque arrête décrit une connexion entre deux serveurs.
Au cours des années 1970, la notion d’hypergraphe a ´et´e introduite afin de modéliser des relations plus complexes,
impliquant potentiellement plus de deux individus. Ce nouveau formalisme a donné lieu `a de nombreuses
applications dans des domaines aussi divers que la bio-informatique, la vision par ordinateur ou encore le
traitement du langage naturel. Cependant, et `a l’instar des graphes, ce nouveau modèle se montre limité d`es
lors que l’on considère des relations entre ensembles d’individus. A titre d’illustration, on peut citer le cas
des jeux compétitifs à plusieurs joueurs: chaque partie peut en effet être considérée comme une relation liant
(au minimum) deux équipes de joueurs (victoire, défaite, égalité). Des relations similaires peuvent intervenir
dans le cadre de réseaux sociaux (relations entre groupes d’individus) ou dans le cadre de réseaux informatiques
(relations entre clusters). Dans le cadre des problèmes listés ci-dessus, il est impératif de prendre en considération
à la fois les individus et les ensembles.
Dans le cadre de cette thèse, nous introduisons un nouveau modèle appel´e graphe d’hypernœuds (hypernode
graph) permettant de représenter spécifiquement des relations binaires entre ensembles d’individus.
Nous proposons également une extension des notions de Laplacien de graphe et de noyau de graphe pour cette
nouvelle classe d’objets. Nous montrons que cette extension est cohérente avec la théorie spectrale définie dans
le cadre des graphes non dirigés. De plus, nous montrons que nos Laplaciens sont strictement plus expressifs
que les Laplaciens de graphe. On notera que cette propriété est spécifique à notre classe d’objets et n’est pas
vérifiée par exemple dans le cas des Laplaciens d’hypergraphe.
A l’aide de ces nouveaux outils, nous sommes capables de définir des algorithmes d’apprentissage efficaces
pour les graphes d’hypernœuds. Sur ces bases, nous proposons une nouvel algorithme permettant d’évaluer les
niveaux de compétence individuels dans des jeux `a plusieurs joueurs (skill rating). Nous évaluons la qualité
de nos résultats via un schéma prédictif (nous prédisons le résultat de nouveaux matchs `a l’aide des valeurs
précédemment calculées). Les résultats expérimentaux montrent que nous sommes en mesure d’obtenir des
résultats compétitifs vis-`a-vis d’algorithmes spécialisés.
Nous étudions en détail les principales propriétés des graphes d’hypernœuds et mettons en évidence des relations
fondamentales avec les graphes signés.
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