Nos recherches ont essentiellement porté sur deux domaines sensiblement différents, mais elles sont toutes dominées par la volonté de caractériser certaines géométries à l’aide d’invariants tels que le spectre du laplacien ou l’entropie volumique. Nous envisageons notre travail comme une étude macroscopique : il ne s’agit pas d’étudier des comportements locaux, mais des comportements globaux. Le cadre le plus général aurait consisté à étudier une famille d’espaces métriques mesurés, complets et non compacts dans le but d’isoler certains d’entre eux par l’intermédiaire des invariants susmentionnés. Cependant pour que cet exercice ait un sens il faudrait un lien entre la métrique et la mesure, ne serait-ce, par exemple, que pour pouvoir mesurer les boules métrique et définir l’entropie. Ce lien nécessiterait d’être encore plus fort si l’on s’intéressait au spectre ou d’un autre point de vue à l’inégalité de Poincaré. Pour avoir cette dernière d’ailleurs, il semble désormais acquis qu’une hypothèse de doublement de la mesure soit nécessaire. C’est pourquoi nos travaux ont consisté à étudier ce genre de questions dans le cadre de deux familles précises, d’une part, les géométries de Hilbert, d’autre par les revêtements universels de nilvariétés. Ainsi, nous avons regroupé dans le premier chapitre de ce mémoire, la présentation de nos recherches concernant les géométries de Hilbert, autrement dit les articles [Ver1] à [Ver5], [prep2], [prep3] et dans un second chapitre nos travaux effectués en prolongation de notre thèse relatifs aux nilvariétés, soit les articles [Ver6] à [Ver8]. Une introduction détaillée à ces géométries n’étant pas l’objet de ce mémoire, nous renvoyons le lecteur aux articles d’exposition [Ver10] et [Ben] et à notre thèse [Ver9]. Les deux domaines étudiés étant, comme nous l’avons dit relativement différents, on trouvera à la fin de chaque chapitre la bibliographie y attenante. La bibliographie de l’auteur est placée à la fin du texte.