Large deviation principle at speed $n$ for the random metric in first-passage percolation
Principe des grandes déviations à vitesse $n$ pour la métrique aléatoire en percolation de premier passage
Résumé
Consider standard first-passage percolation on $\mathbb Z^d$. We study the lower-tail large deviations of the rescaled random metric $\widehat{\mathbf T}_n$ restricted to a box. If all exponential moments are finite, we prove that $\widehat{\mathbf T}_n$ follows the large deviation principle at speed $n$ with a rate function $J$, in a suitable space of metrics. Moreover, we give three expressions for $J(D)$. The first two involve the metric derivative with respect to $D$ of Lipschitz paths and the lower-tail rate function for the point-point passage time. The third is an integral against the $1$-dimensional Hausdorff measure of a local cost. Under a much weaker moment assumption, we give an estimate for the probability of events of the type $\{\widehat{\mathbf T}_n \le D \}$.
Considérons la percolation de premier passage classique sur $\mathbb Z^d$. Nous étudions les grandes déviations inférieures de la métrique aléatoire renormalisée $\widehat{\mathbf T}_n$ restreinte à une boîte. Si tous les moments exponentiels sont finis, nous prouvons que $\widehat{\mathbf T}_n$ suit le principe des grandes déviations à vitesse $n$ avec une fonction de taux $J$, dans un espace de métriques que nous précisons. Nous donnons de plus trois expressions de $J(D)$. Les deux premières font intervenir la dérivée métrique des chemins lipschitziens par rapport à $D$ ainsi que la fonction de taux pour les déviations inférieures du temps point-point. La troisième est une intégrale contre la mesure de Hausdorff $1$-dimensionelle d'un coût locale. Sous une hypothèse de moment beaucoup plus faible, nous estimons la probabilité d'évènements du type $\{\widehat{\mathbf T}_n \le D \}$.
| Origine | Fichiers produits par l'(les) auteur(s) |
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