Asymptotic analysis at any order of Helmholtz's problem in a corner with a thin layer: an algebraic approach
Analyse asymptotique à tout ordre du problème de Helmholtz dans un coin avec une couche mince : une approche algébrique
Résumé
We consider the Helmholtz equation in an angular sector partially covered by a homogeneous layer of small thickness, denoted ε. We propose in this work an asymptotic expansion of the solution with respect to ε at any order. This is done using matched asymptotic expansion, which consists here in introducing different asymptotic expansions of the solution in three subdomains: the vicinity of the corner, the layer and the rest of the domain. These expansions are linked through matching conditions. The presence of the corner makes these matching conditions delicate to derive because the fields have singular behaviors. Our approach is to reformulate these matching conditions purely algebraically by writing all asymptotic expansions as formal series. By using algebraic calculus we reduce the matching conditions to scalar relations linking the singular behaviors of the fields. These relations have a convolutive structure and involve some coefficients that can be computed analytically. Our asymptotic expansion is justified rigorously with error estimates.
Nous considérons l'équation de Helmholtz dans un secteur angulaire partiellement couvert par une couche homogène de faible épaisseur, notée ε. Nous proposons dans ce travail un développement asymptotique à tout ordre de la solution par rapport à ε. Pour ce faire, nous utilisons un développement asymptotique raccordé, qui consiste ici à introduire différents développements asymptotiques de la solution dans trois sous-domaines : le voisinage du coin, la couche et le reste du domaine. Ces développements sont liés par des conditions de raccord. La présence du coin rend ces conditions délicates à obtenir car les champs possèdent des comportements singuliers. Notre approche consiste à reformuler ces conditions de raccord de manière purement algébrique en écrivant tous les développements asymptotiques sous forme de séries formelles. Par un calcul algébrique, nous réduisons les conditions de raccord à des relations scalaires reliant les comportements singuliers des champs. Ces relations ont une structure convolutive et impliquent des coefficients qui peuvent être calculés analytiquement. Notre développement asymptotique est justifié rigoureusement par des estimations d'erreur.
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