Existence of optimal shapes for heat diffusions across irregular interfaces
Existence de formes optimales pour la diffusion de chaleur au travers d'interfaces irrégulières
Résumé
We consider a heat transmission problem across an irregular interface -- that is, non-Lipschitz or fractal -- between two media (a hot one and a cold one). The interface is modelled as the support of a d-upper regular measure. We introduce the properties of the interior and exterior trace operators for two-sided extension domains, which allow to prove the well-posedness (in the sense of Hadamard) of the problem on a large class of domains, which contains regular domains, but also domains with variable boundary dimension. Then, we prove the convergence in the sense of Mosco of the energy form connected to the heat content of one of the domains and the heat transfer for (ε, ∞)-domains. Finally, we prove the existence of an optimal shape maximizing the heat energy transfer in a class of (ε, ∞)-domains, allowing fractal boundaries, while that optimum can generally not be reached in the class of Lipschitz domains.
On considère un problème de transmission de chaleur au travers d'une interface irrégulière -- c'est-à-dire non-lipschitzienne ou fractale -- entre deux milieux (l'un chaud et l'autre froid). L'interface est modélisée comme le support d'une mesure d-régulière supérieure. On introduit les propriétés des opérateurs de trace intérieure et extérieure sur des domaines d'extension bilatéraux, ce qui permet de prouver le caractère bien posé du problème (au sens de Hadamard) sur une large classe de domaines, qui contient les domaines réguliers mais aussi des domaines dont la dimension de Hausdorff du bord varie. Ensuite, on prouve la convergence au sens de Mosco de la forme d'énergie liée à la chaleur contenue dans l'un des domaines et le transfert thermique pour des domaines (ε, ∞). Enfin, on prouve l'existence d'une forme optimale qui maximise le transfert thermique dans une classe de domaines (ε, ∞), contenant des bords fractals, alors que cet optimum n'est généralement pas atteint dans la classe des domaines lipschitziens.
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