On the B-differential of the componentwise minimum of two affine vector functions - The full report
Sur le B-différentiel du minimum par composante de deux fonctions affines à valeurs vectorielles - Le rapport complet
Résumé
This paper focuses on the description and computation of the B-differential of the componentwise minimum of two affine vector functions. This issue arises in the reformulation of the linear complementarity problem with the Min C-function. The question has many equivalent formulations and we identify some of them in linear algebra, convex analysis and discrete geometry. These formulations are used to state some properties of the B-differential, like its symmetry, condition for its completeness, its connectivity, bounds on its cardinal, etc. The set to specify has a finite number of elements, which may grow exponentially with the range space dimension of the functions, so that its description is most often algorithmic. We present first an incremental-recursive approach avoiding to solve any optimization subproblem, which is based on the notion of matroid circuit and the related introduced concept of stem vector. Next, we propose modifications, adapted to the problem at stake, of an algorithm introduced by Rada and Černý in 2018 for determining the cells of an arrangement in the space of hyperplanes having a point in common. Measured in CPU time on the considered test-problems, the mean acceleration ratios of the proposed algorithms, with respect to the one of Rada and Černý, are in the range 7..15, and this speed-up can exceed 30, depending on the problem and the approach.
Cet article se concentre sur la description et le calcul du B-différentiel du minimum par composante de deux fonctions affines à valeurs vectorielles. Ce problème se pose dans la reformulation du problème de complémentarité linéaire avec la C-fonction Min. Cette question a de nombreuses formulations équivalentes et nous en citons quelques-unes en algèbre linéaire, en analyse convexe et en géométrie discrète. Ces formulations sont utilisées pour établir certaines propriétés du B-différentiel, comme sa symétrie, une condition assurant sa complétude, sa connectivité, des bornes sur son cardinal, etc. L'ensemble à décrire comporte un nombre fini d'éléments, qui peut grandir exponentiellement avec la dimension de l'espace d'arrivée des fonctions, de sorte que sa description est le plus souvent algorithmique. Nous présentons d'abord une approche incrémentale-récursive, qui évite de résoudre des problèmes d'optimisation et qui est fondée sur la notion de circuit de matroïde et sur le concept introduit adjacent de vecteur-souche. Ensuite, nous proposons des modifications, adaptées au problème posé, d'un algorithme introduit par Rada et Černý en 2018 pour déterminer les cellules d'un arrangement dans l'espace d'hyperplans ayant un point commun. Mesurée en temps CPU sur les problèmes-tests considérés, les moyennes des quotients d'accélération des algorithmes proposés, par rapport à celui de Rada et Černý, sont de l'ordre de 7..15, et cette accélération peut dépasser 30, selon le problème et l'approche.
Mots clés
B-differential
Bipartition of a finite set
C-differential
Complementarity problem
Complexity
Componentwise minimum of functions
Connectivity
Hyperplane arrangement
Pointed cone
Strict linear inequalities
Symmetry
Winder's formula
Dual approach
Gordan's alternative
Matroid circuit
Stem vector
B-différentiel
Bipartition d'un ensemble fini
C-différentiel
Complexité
Cône pointu
Connexité
Formule de Winder
Inégalités linéaires strictes
Minimum par composante de fonctions
Problème de complémentarité
Symétrie
Alternative de Gordan
Approche duale
Arrangement d'hyperplans
Circuit de matroïde
Vecteur-souche
Domaines
Mathématiques [math]
Fichier principal
dussault-gilbert-plaqueventjourdain-2023-03-27.pdf (801.84 Ko)
Télécharger le fichier
Origine | Fichiers produits par l'(les) auteur(s) |
---|