Punctured tubular neighborhoods and stable homotopy at infinity
Voisinages tubulaires épointés et homotopie stable à l'infini
Résumé
We initiate a study of punctured tubular neighborhoods and homotopy theory at infinity in motivic settings. We use the six functors formalism to give an intrinsic definition of the stable motivic homotopy type at infinity of an algebraic variety. Our main computational tools include cdh-descent for normal crossing divisors, Euler classes, Gysin maps, and homotopy purity. Under-adic realization, the motive at infinity recovers a formula for vanishing cycles due to Rapoport-Zink; similar results hold for Steenbrink's limiting Hodge structures and Wildeshaus' boundary motives. Under the topological Betti realization, the stable motivic homotopy type at infinity of an algebraic variety recovers the singular complex at infinity of the corresponding topological space. We coin the notion of homotopically smooth morphisms with respect to a motivic ∞-category and use it to show a generalization to virtual vector bundles of Morel-Voevodsky's purity theorem, which yields an escalated form of Atiyah duality with compact support. Further, we study a quadratic refinement of intersection degrees, taking values in motivic cohomotopy groups. For relative surfaces, we show the stable motivic homotopy type at infinity witnesses a quadratic version of Mumford's plumbing construction for smooth complex algebraic surfaces. Our construction and computation of stable motivic links of Du Val singularities on normal surfaces is expressed entirely in terms of Dynkin diagrams. In characteristic p > 0, this improves Artin's analysis on Du Val singularities through étale local fundamental groups. The main results in the paper are also valid for-adic sheaves, mixed Hodge modules, and more generally motivic ∞-categories.
Nous commençons une étude des voisinages tubulaires épointés et de la théorie de l'homotopie à l'infini dans un cadre motivique. Nous utilisons le formalisme des six foncteurs pour donner une définition intrinsèque du type d'homotopie motivique stable à l'infini d'une variété algébrique. Nos principaux outils de calcul incluent la descente cdh pour les diviseurs à croisement normaux, les classes d'Euler, les morphismes de Gysin et la pureté homotopique. Dans le cadre de la réalisation adique, le motif à l'infini redonne une formule pour les cycles évanescents due à Rapoport-Zink ; des résultats similaires s'appliquent aux structures de Hodge limites de Steenbrink et aux motifs bord de Wildeshaus. La réalisation topologique de Betti du type d'homotopie motivique stable à l'infini d'une variété algébrique redonne le complexe singulier à l'infini de l'espace topologique correspondant. Nous introduisons la notion de morphismes homotopiquement lisses par rapport à une ∞-catégorie motivique et nous l'utilisons pour montrer une généralisation du théorème de pureté de Morel-Voevodsky, qui donne une forme généralisée de la dualité d'Atiyah à support compact. De plus, nous étudions un raffinement quadratique des degrés d'intersection, prenant des valeurs dans les groupes de cohomotopies motiviques. Pour les surfaces relatives, nous montrons que le type d'homotopie motivique stable à l'infini témoigne d'une version quadratique de la construction de plomberie de Mumford pour les surfaces algébriques complexes lisses. Notre construction et le calcul des liens motiviques stables des singularités de Du Val sur les surfaces normales sont exprimés entièrement en termes de diagrammes de Dynkin. En caractéristique p > 0, cela améliore l'analyse d'Artin sur les singularités Du Val à travers les groupes fondamentaux locaux étales. Les principaux résultats de l'article sont également valables pour les faisceaux l-adiques, les modules de Hodge mixtes, et plus généralement les ∞-catégories motiviques.
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