Variance linearity for real Gaussian zeros
Résumé
We investigate the zero set of a stationary Gaussian process on the real line, and in particular give lower bounds for the variance of the number of points on a large interval, in all generality. We prove that this point process is never hyperuniform, i.e. the variance is at least linear, and give necessary conditions to have linear variance, which are close to be sharp. We study the class of symmetric Bernoulli convolutions and give an example where the zero set is super rigid, weakly mixing, and not hyperuniform.
On étudie l'ensemble des zéros d'un processus gaussien stationnaire sur la ligne réelle, on donne en particulier des bornes inférieures pour la variance du nombre de points et de statistiques linéaires sur un grand intervalle, en tout généralité . On prouve que ce processus ponctuel n'est pas hyper-uniforme, i.e. la variance est toujours au moins linéaire, et on donne une condition nécessaire et suffisante pour avoir une variance linéaire, qui est proche d'être suffisante. On étudie la classe des convolutions symétriques de Bernoulli et on exhibe un exemple o\`u l'ensemble des zéros est max-rigide, faiblement mélangeant, et non-hyper-uniforme
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