Variance linearity for real Gaussian zeros
Résumé
We investigate the zero set of a stationary Gaussian process on the real line, and in particular give lower bounds for the variance of the number of points on a large interval, in all generality. We prove that this point process is never hyperuniform, i.e. the variance is at least linear, and give necessary conditions to have linear variance, which are close to be sharp. We study the class of symmetric Bernoulli convolutions and give an example where the zero set is super rigid, weakly mixing, and not hyperuniform.
On {\'e}tudie l'ensemble des z{\'e}ros d'un processus gaussien stationnaire sur la ligne r{\'e}{\'e}lle, on donne en particulier des bornes inf{\'e}rieures pour la variance du nombre de points et de statistiques lin{\'e}aires sur un grand intervalle, en tout g{\'e}n{\'e}ralit{\'e}. On prouve que ce processus ponctuel n'est pas hyper-uniforme, i.e. la variance est toujours au moins lin{\'e}aire, et on donne une condition n{\'e}cessaire et suffisante pour avoir une variance lin{\'e}aire, qui est proche d'\^etre suffisante. On {\'e}tudie la classe des convolutions sym{\'e}triques de Bernoulli et on exhibe un exemple o\`u l'ensemble des z{\'e}ros est max-rigide, faiblement m{\'e}langeant, et non-hyper-uniforme.\\
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