The exit from a metastable state: Concentration of the exit point distribution on the low energy saddle points, part 1
Résumé
We consider the first exit point distribution from a bounded domain Ω of the stochastic process (Xt)t≥0 solution to the overdamped Langevin dynamics dXt = −∇f(Xt)dt + √ h dBt starting from the quasi-stationary distribution in Ω. In the small temperature regime (h → 0) and under rather general assumptions on f (in particular, f may have several critical points in Ω), it is proven that the support of the distribution of the first exit point concentrates on some points realizing the minimum of f on ∂Ω. Some estimates on the relative likelihood of these points are provided. The proof relies on tools from semi-classical analysis.
Dans ce travail, nous étudions la distribution du point de sortie d’un domaine borné Ω pour le processus stochastique (Xt)t≥0 solution de la dynamique de Langevin suramortie dXt = −∇f(Xt)dt + √ h dBt initialement distribué suivant la distribution quasi-stationnaire dans Ω. Dans la
limite basse température h → 0 et sous des hypothèses générales sur la fonction f (f pouvant notamment avoir plusieurs points critiques dans Ω), nous montrons que la distribution du lieu de sortie se concentre sur certains points réalisant le minimum de f sur ∂Ω. Nous calculons aussi les probabilités relatives de sortir autour de chacun de ces points. Nos preuves reposent sur des outils issus de l’analyse semi-classique.
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