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Pré-Publication, Document De Travail Année : 2019

A k-points-based distance for robust geometric inference

Une fonction distance à k points pour l'inférence géométrique robuste

Résumé

Analyzing the sub-level sets of the distance to a compact sub-manifold of R d is a common method in topological data analysis, to understand its topology. Therefore, topological inference procedures usually rely on a distance estimate based on n sample points [41]. In the case where sample points are corrupted by noise, the distance-to-measure function (DTM, [16]) is a surrogate for the distance-to-compact-set function. In practice, computing the homology of its sub-level sets requires to compute the homology of unions of n balls ([28, 14]), that might become intractable whenever n is large. To simultaneously face the two problems of a large number of points and noise, we introduce the k-power-distance-to-measure function (k-PDTM). This new approximation of the distance-to-measure may be thought of as a k-pointbased approximation of the DTM. Its sublevel sets consist in unions of k balls, and this distance is also proved robust to noise. We assess the quality of this approximation for k possibly drastically smaller than n, and provide an algorithm to compute this k-PDTM from a sample. Numerical experiments illustrate the good behavior of this k-points approximation in a noisy topological inference framework.
Afin de comprendre la topologie d'une sous-variété compacte de R^d, il est courant en analyse topologique des données d'analyser les sous-niveaux de la fonction distance à cette sous-variété. C'est pourquoi, les procédures d'inférence topologique reposent souvent sur des estimées de la fonction distance, construites sur n points. Lorsque l'échantillon de points est corrompu par des données aberrantes, la fonction distance à la mesure (DTM) est une alternative à la distance au compact. En pratique, le calcul de l'homologie de ses sous-niveaux revient à calculer l'homologie d'unions de n boules, ce qui devient impossible lorsque n est grand. Afin de pallier simultanément le problème du grand nombre de points et du bruit, nous introduisons la fonction k-puissance distance à la mesure (k-PDTM). Il s'agit d'une nouvelle approximation de la fonction distance à la mesure qui peut être vue comme une approximation de la DTM basée sur k points. Ses sous-niveaux sont des unions de k boules, et cette distance est robuste au bruit. Nous étudions la qualité de cette approximation pour k possiblement beaucoup plus petit que n, et fournissons un algorithme permettant de calculer cette k-PDTM à partir d'un échantillon de points. Des expériences numériques illustrent le bon comportement de cette approximation construite sur k points, dans le cadre de l'inférence topologique avec bruit.
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Origine : Fichiers produits par l'(les) auteur(s)
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Dates et versions

hal-02266408 , version 1 (14-08-2019)

Identifiants

  • HAL Id : hal-02266408 , version 1

Citer

Claire Brécheteau, Clément Levrard. A k-points-based distance for robust geometric inference. 2019. ⟨hal-02266408⟩
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