A geometrical approach of the Liénard’s equation to prove that for F(x)= x∏_(i=1 ton)(x^2-i^2 ) there are at least n periodic solutions, to prove that for all polynomials of odd degree the periodic solutions are in a bounded space around the origin, to give new algorithms allowing to localize the periodic solutions etc.
Une approche géométrique de l’équation de Liénard pour prouver que pour F(x)= x∏(i=1 à n)(x^2-i^2 ) il y a au moins n solutions périodiques, pour prouver que pour tous les polynômes de degré impair les solutions périodiques sont dans un espace borné autour de l’origine, pour donner des nouveaux algorithmes permettant de localiser les solutions périodiques, etc.
Résumé
We use a geometrical approach of the Liénard’s equation to prove that for F(x)= x∏_(i=1àn)(x^2-i^2 ) there are at least one periodic solution crossing [-i-1 ;-i] et [i ;i+1] for all 1≤i≤n and one crossing ]-∞;-n] and [n ;∞[, to prove that for all polynomials of odd degree the periodic solutions are in a bounded space around the origin and that for all polynomials of even degree the periodic solution cross a bounded interval of Oy, to detect the periodic solutions in studying a linear transformation of Oy, to prove that the number of periodic solution for F(x) and for λF(x) are different, to give five new algorithms allowing to localize the periodic solutions, to give some examples of functions for which there are at least one periodic solution crossing [-i-1 ;-i] and [i ;i+1] for all iϵN*, to give conditions on the coefficients of polynomials to have periodic solutions and to determine a lower bound of the probability of not having periodic solution
Nous utilisons une approche géométrique de l’équation de Liénard pour prouver que pour F(x)= x∏_(i=1àn)(x^2-i^2 ) il y a au moins une solution périodique coupant [-i-1 ;-i] et [i ;i+1] pour tout 1≤i≤n et une coupant ]-∞;-n] et [n ;∞[, pour prouver que pour tous les polynômes de degré impair les solutions périodiques sont dans un espace borné autour de l’origine et que pour tous les polynômes de degré pair les solutions périodiques coupent un intervalle borné de Oy, pour détecter les solutions périodiques en étudiant une transformation linéaire de Oy, pour prouver que les nombres de solutions périodiques pour F(x) et pour λF(x) sont différents, pour donner cinq nouveaux algorithmes permettant de localiser les solutions périodiques, pour donner des exemples de fonctions pour lesquelles il y a au moins une solution périodique coupant [-i-1 ;-i] et [i ;i+1] pour tout iϵN*, pour donner des conditions sur les coefficients de polynômes pour qu’il y ait des solutions périodiques et pour déterminer une borne inférieure à la probabilité qu’il n’y ait pas de solutions périodiques
Domaines
Systèmes dynamiques [math.DS]
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Une approche géométrique de l'équation de Lienard... - Serge Reymond - 2019 06 01 - français.pdf (7.15 Mo)
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