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Pré-Publication, Document De Travail Année : 2019

Random gluing of metric spaces

Recollement aléatoire d'espaces métriques

Résumé

We construct random metric spaces by gluing together an infinite sequence of pointed metric spaces that we call blocks. At each step, we glue the next block to the structure constructed so far by randomly choosing a point on the structure and then identifying it with the distinguished point of the block. The random object that we study is the completion of the structure that we obtain after an infinite number of steps. We introduce a sequence (w_n)_{n≥1} that we call the weights of the blocks. At each step, the probability that the next block is glued onto any of the preceding blocks is proportional to its weight. We suppose that the blocks are i.i.d. copies of the same random metric space, scaled by deterministic factors that we call (λ_n)n≥1. We work under some conditions on the distribution of the blocks ensuring that they a.s. have dimension d, for some d≥0. The main contribution of this paper is the computation of the Hausdorff dimension of the set L of points which appear during the completion procedure when the sequences (λ_n)_{n≥1} and (w_n)_{n≥1} typically behave like a power of n, say n^{−α} for the scaling factors and n^{−β} for the weights, with α > 0 and β ∈ R. For a large domain of α and β we have dim(L) = 1/α . However for β > 1 and α < 1/d, our results reveal an interesting phenomenon: the dimension has a non-trivial dependence in α, β and d, namely dim (L) = (2β − 1 − 2 (β − 1)(β − αd) )/α. The computation of the dimension in the latter case involves new tools, which are specific to our model.
On construit des espaces métriques aléatoires en recollant ensemble une suite inifnie d'espaces métriques aléatoires pointés que l'on appelle des blocs. À chaque étape, on colle le bloc suivant sur la structure obtenue jusque là en choisissant aléatoirement un point sur la structure puis en l'identifiant au point distingué du bloc. L'objet aléatoire étudié est la complétion métrique de la structure que l'on obtient ainsi après une infinité d'étapes. On introduit un suite (w_n)_{n≥1} que l'on appelle les poids des blocs. À chaque étape, la probabilité que le nouveau bloc soit collé sur un point de n'importe lequel des blocs précédent est proportionnel à son poids. On suppose que les blocs sont des copies i.i.d. du même espace métrique aléatoire, normalisées par des facteurs d'échelle (λ_n)_{n≥1}. On travaille sous des conditions qui assurent que les blocs sont presque sûrement de dimension d, pour un d≥0 réel. La contribution principale des cet article est la calcul de la dimension de Hausdorff de l'ensemble L des points qui apparaissent lors de la procédure de complétion lorsque les suites (λ_n)_{n≥1} et (w_n)_{n≥1} se comportent typiquement comme des puissances de n, disons n^{−α} pour les facteurs d'échelle et n^{−β} pour les poids, avec α > 0 et β ∈ R. Pour un large domaine de α et β on a dim(L) = 1/α. Cependant, pour β > 1 et α < 1/d, nos résultats révèlent un phénomène intéressant: la dimension de L présente une dépendance non-triviale en α, β et d, à savoir dim (L) = (2β − 1 − 2 (β − 1)(β − αd) )/α. Le calcul de cette dimension dans ce cas faire intervenir de nouveaux outils, spécifiques à ce modèle.
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Dates et versions

hal-02100867 , version 1 (16-04-2019)

Identifiants

  • HAL Id : hal-02100867 , version 1

Citer

Delphin Sénizergues. Random gluing of metric spaces. 2019. ⟨hal-02100867⟩
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