Picard group of unipotent groups, restricted Picard functor
Résumé
Let k be a field. In this article, we study the Picard group of the smooth connected unipotent k-algebraic groups, and more generally the Picard group of the forms of the affine n-space.
To study the Picard group of a form of the affine n-space with geometric methods, we define a restricted Picard functor. First, we prove that if a form of the affine n-space X admits a regular completion, then the restricted Picard functor of X is representable by a smooth unipotent k-algebraic group.
Then, we generalise a result of B. Totaro: if k is separably closed and if the Picard group of a smooth connected unipotent k-algebraic group is nontrivial then it admits a nontrivial extension by the multiplicative group. Moreover, we obtain that the Picard group of a unirational form of the affine n-space is finite.
Soit k un corps quelconque. Dans cet article, on étudie le groupe de Picard des k-groupes algébriques unipotents (lisses et connexes), et plus généralement le groupe de Picard des formes de l'espace affine de dimension n.
Afin d'étudier le groupe de Picard d'une forme X de l'espace affine de dimension n avec des méthodes géométrique, on définit un foncteur de Picard
"restreint". On montre que si X admet une complétion réguliére, alors le foncteur de Picard "restreint" est représentable par un k-groupe unipotent lisse. Ensuite, on généralise un résultat dû à B. Totaro : si k est séparablement clos, et si le groupe de Picard d'un k-groupe algébrique unipotent connexe est non trivial, alors il admet une extension non triviale par le groupe multiplicatif. De plus, on obtient que le groupe de Picard d'une forme unirationnelle de l'espace affine de dimension n est fini.
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