Raviart-Thomas finite elements of Petrov-Galerkin type
Résumé
The mixed finite element method for the Poisson problem with the Raviart-Thomas elements of low-level can be interpreted as a finite volume method with a non-local gradient. In this contribution, we propose a variant of Petrov-Galerkin type for this problem to ensure a local computation of the gradient at the interfaces of the elements. The shape functions are the Raviart-Thomas finite elements. Our goal is to define test functions that are in duality with these shape functions: Precisely, the shape and test functions will be asked to satisfy a L2-orthogonality property. The general theory of Babuška brings necessary and sufficient stability conditions for a Petrov-Galerkin mixed problem to be convergent. We propose specific constraints for the dual test functions in order to ensure stability. With this choice, we prove that the mixed Petrov-Galerkin scheme is identical to the four point finite volumes scheme of Herbin, and to the mass lumping approach developed by Baranger, Maitre and Oudin. Finally, we construct a family of dual test functions that satisfy the stability conditions. Convergence is proven with the usual techniques of mixed finite elements.
Rappelons que la méthode mixte de Raviart-Thomas avec des éléments finis de bas degré peut s'interpréter comme une méthode de volumes finis avec un calcul non local du gradient dans le cas du probìeme de Poisson. Dans cette contribution, nous proposons une variante de type Petrov-Galerkin afin d'assurer un calcul local du gradient aux interfaces des éléments. Il s'agit d'expliciter des fonctions test duales de l'élément fini de Raviart-Thomas. La théorie générale de Babuška permet de garantir des conditions de stabilité nécessaires et suffisantes pour qu'un probìeme mixte de Petrov-Galerkin conduise à une approximation convergente. Nous proposons des contraintes spécifiques sur les fonctions test duales afin de garantir la stabilité. Avec ce choix, nous montrons que le schéma mixte de Petrov-Galerkin obtenu est identique au schéma de volumes finis à quatre points de Herbin et à l'approche par condensation de masse développée par Baranger, Maitre et Oudin. Enfin, nous construisons une famille de fonctions test duales qui rendent le schéma stable et nous montrons la convergence avec les méthodes usuelles d'éléments finis mixtes.
Domaines
Analyse numérique [math.NA]| Origine | Fichiers produits par l'(les) auteur(s) |
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