Mesures géométriques pour les groupes d’homologie : vers une adaptation aux complexes simpliciaux
Résumé
The measures for the homology groups were recently introduced in the context of discrete objects. Given a binary volume (a set of voxels), we can obtain two measures for each generator of the homology groups associated to the volume: its thickness and its breadth. They are defined through the signed distance transform and the persistent homology, and they allow to measure the holes of a volume from two points of view: is the hole easy to break or to fill? This approach provides also a heuristic for breaking or filling holes in a minimal way.
We present in this short article the ongoing work on adapting these definitions to the context of simplicial complexes. The difficulty consists of defining the signed distance transform for such a complex.
Les mesures pour les groupes d'homologie ont été introduites récemment pour les objets discrets. Étant donné un volume binaire (un ensemble de voxels), on obtient deux mesures pour chaque générateur de groupes d'homologie associés à ce volume : l'épaisseur (thickness) et l'ampleur (breadth). Elles sont définies à partir de la transformée de distances signée et la persistance homologique et elles permettent de mesurer les trous du volume sous deux points de vue : est-il facile de le casser ou de le remplir ? Cette approche donne une heuristique aussi pour casser ou remplir les trous de façon minimale.
Nous présentons dans ce court article un travail en cours sur l'adaptation de ces définitions au contexte des complexes simpliciaux. La difficulté consiste à définir la transformée de distances signée pour un tel complexe.
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