Brownian motion and Random Walk above Quenched Random Wall
Résumé
We study the persistence exponent for the first passage time of a random walk below the trajectory of another random walk. More precisely, let $\{B_n\}$ and $\{W_n\}$ be two centered, weakly dependent random walks. We establish that $\mathbb{P}(\forall_{n\leq N} B_n \geq W_n|W) = N^{-\gamma + o(1)}$ for a non-random $\gamma\geq 1/2$. In the classical setting, $W_n \equiv 0$, it is well-known that $\gamma = 1/2$. We prove that for any non-trivial $W$ one has $\gamma>1/2$ and the exponent $\gamma$ depends only on $\text{Var}(B_1)/\text{Var}(W_1)$. Our result holds also in the continuous setting, when $B$ and $W$ are independent and possibly perturbed Brownian motions or Ornstein-Uhlenbeck processes. In the latter case the probability decays at exponential rate.
Nous étudions l'exponsant de persistence du temps de premier passage d'une marche aléatoire en-dessous de la trajectoire d'une autre marche aléatoire. Plus précisément, étant donné deux marches aléatoires $\{B_n\}$ et $\{W_n\}$, centrées et faiblement corrélées, on établit que $\mathbb{P}(\forall_{n\leq N} B_n \geq W_n|W) = N^{-\gamma + o(1)}$ pour un certain exposant $\gamma \geq 1/2$ déterministe. Il est bien connu que lorsque $W_n \equiv 0$, on a $\gamma = 1/2$. On prouve ici que lorsque $W$ est non-triviale, alors $\gamma>1/2$, et dépend seulement du rapport $\text{Var}(B_1)/\text{Var}(W_1)$. Notre résultat est également valable en temps continu, lorsque $B$ et $W$ sont des mouvement Browniens ou des processus d'Ornstein-Uhlenbeck indépendants. Dans ce dernier cas cependant, la probabilité plus haut décroit à taux exponentiel.
Domaines
Probabilités [math.PR]| Origine | Fichiers produits par l'(les) auteur(s) |
|---|
Loading...