Carleman estimates for elliptic operators with complex coefficients Part II: transmission problems
Résumé
We consider elliptic transmission problems with complex coefficients across an interface. Under proper transmission conditions, that extend known conditions for well-posedness, and sub-ellipticity we derive microlocal and local Carleman estimates near the interface. Carleman estimates are weighted a priori estimates of the solutions of the elliptic transmission problem. The weight is of exponential form, exp(τ ϕ) where τ can be taken as large as desired. Such estimates have numerous applications in unique continuation, inverse problems, and control theory. The proof relies on microlocal factorizations of the symbols of the conjugated operators in connection with the sign of the imaginary part of their roots. We further consider weight functions where ϕ = exp(γψ), with γ acting as a second large paremeter, and we derive estimates where the dependency upon the two parameters, τ and γ, is made explicit. Applications to unique continuation properties are given.
Nous considérons des problèmes de transmission elliptiques à coefficients complexes. En étendant des conditions qui rendent ce problème bien posé, et sous condition de sous-ellipticité nous obtenons des iné-galités de Carleman microlocales et locales à l'interface qui sont des inégalités a priori à poids pour les solutions du problème. Les fonctions poids sont exponentielles, exp(τ ϕ), où le paramètre τ peut être choisi arbitraire-ment grand. De telles estimations ont de nombreuses applications comme pour les questions de prolongement unique, les problèmes inverses et le contrôle. La démonstration repose sur des factorisations microlocales du symbole des opérateurs conjugués liées aux signes des parties imaginaires de leurs racines. Nous considérons le cas ϕ = exp(γψ), où γ peut-être arbitrairement grand et nous obtenons des inégalités de Carleman pour lesquelles la dépendence en les deux grands paramètres, τ et γ, est rendue explicite. Des applications aux questions de prolongement unique sont proposées.
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