Ergodic Banach problem, flat polynomials and Mahler's measures with combinatorics
Un problème ergodique de Banach, les polynômes plats et les mesures de Mahler avec de l'analyse combinatoire
Résumé
Using the combinatorial Singer's construction, we exhibit a sequence of flat polynomials with coefficients $0,1$. We thus get that there exist a sequences of Newman polynomials that are $L^\alpha$-flat, $0 \leq \alpha <2$. This settles an old question of Littlewood. In the opposite direction,
we prove that the Newman polynomials are not $L^\alpha$-flat, for $\alpha \geq 4$.
We further establish that there is a conservative, ergodic, $\sigma$-finite measure preserving transformation
with simple Lebesgue spectrum. This answer affirmatively a long-standing problem of Banach
from the Scottish book. Consequently, we obtain a positive answer to Mahler's problem in the class of Newman polynomials, and this allows us
also to answer a question raised by Bourgain on the supremum of the $L^1$-norm of $L^2$normalized idempotent polynomials.
On construit une suite de polynômes plats au sens presque sûre. La construction fait appel aux propriétés combinatoires fines des ensembles de Singer et Sidon. Ceci nous permet d'obtenir une réponse positive au problème des polynômes plats de Littlewood dans la classe des polynômes de Newman. Il en résulte aussi qu'il existe des transformations de rang un agissant sur un espace mesuré de mesure infinie et qui ont un spectre simple de Lebesgue. Ceci permet d'obtenir une réponse positive à une veille question de Banach dans le Scottish book. Il se trouve que notre construction permet aussi d'obtenir une réponse positive pour le problème de Mahler dans la classe des polynômes de Newman. On apporte aussi une réponse à la question de Bourgain autour de la norme $L^1$ des polynômes idempotents $L^2$- normalisés.
Mots clés
Simple Lebesgue spectrum
ergodic Banach problem
singular measure
rank one maps
Generalized Riesz products
flat polynomials
ultraflat polynomials
Littlewood problem
Newman polynomials
Mahler measure
Sidon set
Singer set
Hp Theory
Marcinkiewicz-Zygmund interpolation inequalities
Carleson measure
Bernstein-Zygmund inequalities
Helson-Szegö condition
inner function
outer function
Rohklin problem
conservative map
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