Ergodic Banach problem, flat polynomials and Mahler's measures with combinatorics
Un problème ergodique de Banach, les polynômes plats et les mesures de Mahler avec de l'analyse combinatoire
Résumé
We construct a sequence of polynomials that are flat in the almost everywhere sense. The construction is done by appealing to the nice combinatorial properties of the Singer's sets and Sidon sets. As a consequence, we get a positive answer to Littlewood's flatness problem in the class of the Newman polynomials. We further obtain that there exist a rank one map acting on space of infinite measure with simple Lebesgue spectrum. This answer an old question attributed to Banach. It is turn out that our construction answer also positively the Mahler's problem in the class of Newman polynomials. Moreover, we get an answer to the Bourgain's question on the L 1-norm of L 2 normalized idempotent polynomials.
On construit une suite de polynômes plats au sens presque sûre. La construction fait appel aux propriétés combinatoires fines des ensembles de Singer et Sidon. Ceci nous permet d'obtenir une réponse positive au problème des polynômes plats de Littlewood dans la classe des polynômes de Newman. Il en résulte aussi qu'il existe des transformations de rang un agissant sur un espace mesuré de mesure infinie et qui ont un spectre simple de Lebesgue. Ceci permet d'obtenir une réponse positive à une veille question de Banach dans le Scottish book. Il se trouve que notre construction permet aussi d'obtenir une réponse positive pour le problème de Mahler dans la classe des polynômes de Newman. On apporte aussi une réponse à la question de Bourgain autour de la norme L^1 des polynômes idempotents L^- normalisés.
Mots clés
Lebesgue spectrum
ergodic Banach problem
singular measure
rank one maps
Generalized Riesz products
flat polynomials
ultraflat polynomials
Littlewood problem
Newman polynomials
Mahler measure
Sidon set
Singer set
H p Theory
Marcinkiewicz-Zygmund interpolation inequal-ities
Carleson measure
Bernstein-Zygmund inequalities
Helson-Szegö condition
inner function
outer function
Domaines
Systèmes dynamiques [math.DS]
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