Bilaplacian problems with a sign-changing coefficient
Résumé
We investigate the properties of the operator ∆(σ∆·) : H^2_0 (Ω) → H^{−2}(Ω), where σ is a given parameter whose sign can change on the bounded domain Ω. Here, H^2_0 (Ω) denotes the subspace of H^2(Ω) made of the functions v such that v = ν · ∇v = 0 on ∂Ω. The study of this problem arises when one is interested in some configurations of the Interior Transmission Eigenvalue Problem. We prove that ∆(σ∆·) : H^2_0 (Ω) → H^{−2}(Ω) is a Fredholm operator of index zero as soon as σ ∈ L^∞(Ω), with σ^{−1}∈ L^∞(Ω), is such that σ remains uniformly positive (or uniformly negative) in a neighbourhood of ∂Ω. We also study configurations where σ changes sign on ∂Ω and we prove that Fredholm property can be lost for such situations. In the process, we examine in details the features of a simpler problem where the boundary condition ν · ∇v = 0 is replaced by σ∆v = 0 on ∂Ω.
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