Cet article est consacré à la conjecture de Lin-Ni pour une équation semi-linéaire elliptique avec non-linéarité super-linéaire, sous-critique et des conditions de Neumann homogènes. Nous établissons un résultat de rigidité, c’est-à-dire nous prouvons que la seule solution positive est constante si le param`etre du problème est en-dessous d’une borne explicite, reliée à la constante optimale d’une inégalité d’interpolation de Gagliardo-Nirenberg-Sobolev et aussi à une inégalité de Keller-Lieb-Thirring optimale. Nos résultats sont également valides dans un régime sous-linéaire. La borne de rigidité est obtenue par des méthodes de flots non-linéaires inspirées de résultats récents sur les variétés compactes, qui unifient des techniques d’équations elliptiques non-linéaires et la méthode du carré du champ en théorie des semi-groupes. Notre méthode requiert la convexité du domaine. Elle repose sur des quantités intégrales, prend en compte des estimations spectrales et fournit des inégalités améliorées.