Fonctions arithmétiques et formes binaires cubiques et irréductibles
Résumé
Let $F(X_1,X_2)\in\mathbb{Z}[X_1,X_2] $ be an irreducible binary form of degree $3$
and $h$ an arithmetic function.
In this article, we give some estimates for
the average order $\sum_{\substack{|n_1|\leq x,|n_2|\leq x}}h(F(n_1,n_2))$ when $h$ satisfy certain conditions.
We provide an asymptotic formula for the number of $y$-friable values of $F(n_1,n_2)$ when the variables $n_1,n_2$ lie in the square $[1, x]^2$ and uniformly for $\exp\left(\frac{\log x}{(\log\log x)^{1/2-\varepsilon}}\right)\leq yleq x$. This improves a result of
Balog, Blomer, Dartyge and Tenenbaum in the case of cubic form. Our method also applies to some oscillating multiplicative functions like the Möbius function $\mu$ : this gives an other proof of the Chowla conjecture for binary and irreducible cubic forms, recently proved by Helfgott.
Soient $F(X_1,X_2)\in\mathbb{Z}[X_1,X_2] $ une forme binaire irréductible de degré $3$ et $h$ une fonction arithmétique. Dans cet article, nous obtenons des estimations de l'ordre moyen $\sum_{\substack{|n_1|\leq x,|n_2|\leq x}}h(F(n_1,n_2))$ pour des fonctions $h$ soumises à certaines conditions. On donne en particulier une formule asymptotique du nombre d'entiers $y$-friables de la forme $F(n_1,n_2)$ où $(n_1,n_2)$ parcourent
$[1,x]^2$, uniforme dans la région $\exp\left(\frac{\log x}{(\log\log x)^{1/2-\varepsilon}}\right)\leq y\leq x$. Ceci améliore des résultats de
Balog, Blomer, Dartyge et Tenenbaum dans le cas des formes cubiques. La méthode utilisée s'applique également à des fonctions multiplicatives oscillantes comme la fonction $\mu$ de Möbius : il s'ensuit une nouvelle preuve de la conjecture de Chowla pour les formes binaires cubiques irréductibles, récemment démontrée par Helfgott.
Domaines
Théorie des nombres [math.NT]
Origine : Fichiers produits par l'(les) auteur(s)