The self-energy of an impurity in an ideal Fermi gas to second order in the interaction strength - Archive ouverte HAL Accéder directement au contenu
Article Dans Une Revue Physical Review A : Atomic, molecular, and optical physics [1990-2015] Année : 2014

The self-energy of an impurity in an ideal Fermi gas to second order in the interaction strength

L'autoénergie d'une impureté dans un gaz parfait de Fermi au second ordre en l'interaction

Christian Trefzger
  • Fonction : Auteur
  • PersonId : 932129
Yvan Castin

Résumé

We study in three dimensions the problem of a spatially homogeneous zero-temperature ideal Fermi gas of spin-polarized particles of mass $m$ perturbed by the presence of a single distinguishable impurity of mass $M$. The interaction between the impurity and the fermions involves only the partial $s$-wave through the scattering length $a$, and has negligible range $b$ compared to the inverse Fermi wave number $1/\kf$ of the gas. Through the interactions with the Fermi gas the impurity gives birth to a quasi-particle, which will be here a Fermi polaron (or more precisely a {\sl monomeron}). We consider the general case of an impurity moving with wave vector $\KK\neq\OO$: Then the quasi-particle acquires a finite lifetime in its initial momentum channel because it can radiate particle-hole pairs in the Fermi sea. A description of the system using a variational approach, based on a finite number of particle-hole excitations of the Fermi sea, then becomes inappropriate around $\KK=\mathbf{0}$. We rely thus upon perturbation theory, where the small and negative parameter $\kf a\to0^-$ excludes any branches other than the monomeronic one in the ground state (as e.g.\ the dimeronic one), and allows us a systematic study of the system. We calculate the impurity self-energy $\Sigma^{(2)}(\KK,\omega)$ up to second order included in $a$. Remarkably, we obtain an analytical explicit expression for $\Sigma^{(2)}(\KK,\omega)$ allowing us to study its derivatives in the plane $(K,\omega)$. These present interesting singularities, which in general appear in the third order derivatives $\partial^3 \Sigma^{(2)}(\KK,\omega)$. In the special case of equal masses, $M=m$, singularities appear already in the physically more accessible second order derivatives $\partial^2 \Sigma^{(2)}(\KK,\omega)$; using a self-consistent heuristic approach based on $\Sigma^{(2)}$ we then regularise the divergence of the second order derivative $\partial_K^2 \Delta E(\KK)$ of the complex energy of the quasi-particle found in reference [C. Trefzger, Y. Castin, Europhys. Lett. {\bf 104}, 50005 (2013)] at $K=\kf$, and we predict an interesting scaling law in the neighborhood of $K=\kf$. As a by product of our theory we have access to all moments of the momentum of the particle-hole pair emitted by the impurity while damping its motion in the Fermi sea, at the level of Fermi's golden rule.
Nous considérons, en dimension trois, une impureté de masse $M$ en interaction avec un gaz parfait spatialement homogène de fermions de masse $m$, polarisé de spin et de température nulle. L'interaction se produit exclusivement dans l'onde $s$, avec une longueur de diffusion $a$ et une portée $b$ négligeable devant le nombre d'onde de Fermi $1/\kf$ du gaz. Elle transforme l'impureté de vecteur d'onde initial $\KK$ en une quasi-particule de vecteur d'onde $\KK$ appelée polaron de Fermi, plus précisément ici un {\sl monoméron}. À $\KK\neq\mathbf{0}$, la quasi-particule a une durée de vie finie dans son sous-espace d'impulsion initial, puisqu'elle peut rayonner des paires particule-trou dans la mer de Fermi, ce dont l'habituelle approche variationnelle (avec un nombre tronqué de telles paires) ne rend pas compte au voisinage de $\KK=\mathbf{0}$. Aussi avons-nous recours à la théorie des perturbations dans la limite $\kf a\to 0^-$, ce qui exclut énergétiquement la branche diméronique et permet d'obtenir des résultats systématiques. De façon remarquable, nous obtenons une expression analytique totalement explicite pour $\Sigma^{(2)}(\KK,\omega)$, la fonction énergie propre ou {\sl autoénergie} de l'impureté au second ordre en $a$. Ceci nous permet de montrer que la différentielle troisième de $\Sigma^{(2)}(\KK,\omega)$ admet des lignes de singularité dans le plan $(K,\omega)$. Dans le cas de masses égales $m=M$, on peut même avoir des singularités dans la différentielle seconde, plus accessible expérimentalement ; à l'aide d'une approche heuristique auto-cohérente, tirant parti de notre connaissance de $\Sigma^{(2)}(\KK,\omega)$, nous parvenons alors à régulariser la dérivée seconde par rapport à $K$ de l'énergie complexe $\Delta E(\KK)$ de la quasi-particule, qui était divergente en $K=\kf$ dans la référence [C. Trefzger, Y. Castin, Europhys. Lett. {\bf 104}, 50005 (2013)], et nous prédisons une intéressante loi d'échelle pour cette quantité au voisinage de $K=\kf$. Nous terminons par une retombée directe de notre théorie, le calcul par la règle d'or de Fermi de tous les moments de l'impulsion de la paire particle-trou émise par l'impureté en mouvement amorti dans la mer de Fermi.
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Origine : Fichiers produits par l'(les) auteur(s)
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Dates et versions

hal-00995768 , version 1 (23-05-2014)
hal-00995768 , version 2 (19-12-2014)

Identifiants

Citer

Christian Trefzger, Yvan Castin. The self-energy of an impurity in an ideal Fermi gas to second order in the interaction strength. Physical Review A : Atomic, molecular, and optical physics [1990-2015], 2014, 90, pp.033619. ⟨hal-00995768v2⟩
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