The self-energy of an impurity in an ideal Fermi gas to second order in the interaction strength
Résumé
We study in three dimensions the problem of a spatially homogeneous zero-temperature ideal Fermi gas of spin-polarized particles of mass $m$ perturbed by the presence of a single distinguishable impurity of mass $M$. The interaction between the impurity and the fermions involves only the partial $s$-wave through the scattering length $a$, and has negligible range $b$ compared to the inverse Fermi wave number $1/\kf$ of the gas. Through the interactions with the Fermi gas the impurity gives birth to a quasi-particle, which will be here a Fermi polaron (or more precisely a {\sl monomeron}). We consider the general case of an impurity moving with wave vector $\KK\neq\OO$: Then the quasi-particle acquires a finite lifetime in its initial momentum channel because it can radiate particle-hole pairs in the Fermi sea. A description of the system using a variational approach, based on a finite number of particle-hole excitations of the Fermi sea, then becomes inappropriate around $\KK=\mathbf{0}$. We rely thus upon perturbation theory, where the small and negative parameter $\kf a\to0^-$ excludes any branches other than the polaronic one in the ground state (as e.g.\ the dimeronic one), and allows us a systematic study of the system. We calculate the impurity self-energy $\Sigma^{(2)}(\KK,\omega)$ up to second order included in $a$. Remarkably, we obtain an analytical explicit expression for $\Sigma^{(2)}(\KK,\omega)$ allowing us to study its derivatives in the plane $(K,\omega)$. These present interesting singularities, which in general appear in the third order derivatives $\partial^3 \Sigma^{(2)}(\KK,\omega)$. In the special case of equal masses, $M=m$, singularities appear already in the physically more accessible second order derivatives $\partial^2 \Sigma^{(2)}(\KK,\omega)$; using a self-consistent heuristic approach based on $\Sigma^{(2)}$ we then regularise the divergence of the second order derivative $\partial_K^2 \Delta E(\KK)$ of the complex energy of the quasi-particle found in reference [C. Trefzger, Y. Castin, Europhys. Lett. {\bf 104}, 50005 (2013)] at $K=\kf$, and we predict an interesting scaling law in the neighborhood of $K=\kf$. As a by product of our theory we have access to all moments of the momentum of the particle-hole pair emitted by the impurity while damping its motion in the Fermi sea, at the level of Fermi's golden rule.
Nous considérons, en dimension trois, une impureté de masse $M$ en interaction avec un gaz parfait spatialement homogéne de fermions de masse $m$, polarisé de spin et de température nulle. L'interaction se produit exclusivement dans l'onde $s$, avec une longueur de diffusion $a$ et une portée $b$ négligeable devant le nombre d'onde de Fermi $1/\kf$ du gaz. Elle transforme l'impureté de vecteur d'onde initial $\KK$ en une quasi-particule de vecteur d'onde $\KK$ appelée polaron de Fermi, plus précisément ici un {\sl monoméron}. Á $\KK\neq\mathbf{0}$, la quasi-particule a une durée de vie finie dans son sous-espace d'impulsion initial, puisqu'elle peut rayonner des paires particule-trou dans la mer de Fermi, ce dont l'habituelle approche variationnelle (avec un nombre tronqué de telles paires) ne rend pas compte au voisinage de $\KK=\mathbf{0}$. Aussi avons-nous recours á la théorie des perturbations dans la limite $\kf a\to 0^-$, ce qui exclut énergétiquement la branche diméronique et permet d'obtenir des résultats systématiques. De façon remarquable, nous obtenons une expression analytique totalement explicite pour $\Sigma^{(2)}(\KK,\omega)$, la fonction énergie propre ou {\sl autoénergie} de l'impureté au second ordre en $a$. Ceci nous permet de montrer que la différentielle troisiéme de $\Sigma^{(2)}(\KK,\omega)$ admet des lignes de singularité dans le plan $(K,\omega)$. Dans le cas de masses égales $m=M$, on peut même avoir des singularités dans la différentielle seconde, plus accessible expérimentalement~; á l'aide d'une approche heuristique auto-cohérente, tirant parti de notre connaissance de $\Sigma^{(2)}(\KK,\omega)$, nous parvenons alors á régulariser la dérivée seconde par rapport á $K$ de l'énergie complexe $\Delta E(\KK)$ de la quasi-particule, qui était divergente en $K=\kf$ dans la référence [C. Trefzger, Y. Castin, Europhys. Lett. {\bf 104}, 50005 (2013)], et nous prédisons une intéressante loi d'échelle pour cette quantité au voisinage de $K=\kf$. Nous terminons par une retombée directe de notre théorie, le calcul par la régle d'or de Fermi de tous les moments de l'impulsion de la paire particle-trou émise par l'impureté en mouvement amorti dans la mer de Fermi.
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