Methods related to dynamical systems
Méthodes liées aux systèmes dynamiques
Résumé
My main research considers continuous dynamical systems. A very important combinatorial object called a Lyapunov graph labelled with topological and dynamical invariants is used to prove various classification results. Lyapunov graphs were first introduced by Franks and have proven to be an excellent bookkeeping device of dynamical and topological information of a flow and its phase space. First, we focus in a special class of Lyapunov graphs, those which are related to Morse flows. In this case an isolating invariant set corresponds to nondegenerate singularities. Then we consider another special class of Lyapunov graphs, namely those that can be related to nonsingular Morse-Smale flows on manifolds (with or without boundary), which are called Lyapunov graphs of Smale type. In this case, an isolating invariant set corresponds to closed orbits. Continuation results for Lyapunov graphs are proven in both cases. The minimal number of nondegenerate singularities that can be realized on some manifold with non-empty boundary is determined solely in terms of abstract homological boundary information. An algorithm which computes a minimal number of periodic orbits that can be realized on a manifold is described in terms of abstract homological boundary information. The interplay between topological dynamical systems theory and network flow theory was explored to obtain combinatorial results for the continuation and morsification of Lyapunov graphs. This interaction has proven to be very fruitful, giving rise to novel techniques. Connection matrix theory and a spectral sequence analysis of a filtered Morse chain complex are used to study global continuation results for flows on surfaces.
We also consider discontinuous dynamical systems, but in order to present a concise and coherent document, I have chosen to mention these works in the Appendix. In this case, we are interested in studying differential equations depending nonsmoothly on the integration time. This part of the work deals with the existence of periodic solutions to such equations.
Ma recherche principale porte sur les systèmes dynamiques continus. Un objet combinatoire très important, appelé graphe de Lyapunov, étiqueté avec des invariants topologiques et dynamiques est utilisé pour prouver divers résultats de classification. Les graphes de Lyapunov ont été introduits pour la première fois par Franks et se sont révélés être un excellent moyen de conserver les informations dynamiques et topologiques du flot et de son espace de phase. Tout d'abord, nous nous intéressons à une classe particulière de graphes de Lyapunov, ceux qui sont liés aux flots de Morse. Dans ce cas, l'ensemble invariant isolé correspond à des singularités non dégénérées. Nous avons également considéré une autre classe spéciale de graphes de Lyapunov, à savoir ceux qui peuvent être liés à des flots de Morse-Smale non singuliers sur des variétés (avec ou sans bord), qui sont appelés graphes de Lyapunov de type Smale. Dans ce cas, les ensembles invariants isolés correspondent à des orbites fermées. Nous avons prouvé un résultat de continuation pour les graphes de Lyapunov dans les deux cas. Le nombre minimal de singularités non dégénérées qui peuvent être réalisées sur une variété quelconque avec bord non vide est déterminé uniquement en termes d'informations homologiques abstraites du bord. Un algorithme qui calcule un nombre minimal d'orbites périodiques qui peuvent être réalisées sur une varété est décrit en termes d'informations homologiques abstraites du bord. L'interaction entre la théorie des systèmes dynamiques topologique et la théorie des flux de réseaux a été explorée pour pour obtenir des résultats combinatoires pour la continuation et la morsification des graphes de Lyapunov. Cette interaction s'est avérée très fructueuse et a donné lieu à de nouvelles techniques. Les matrices de connexion et l'analyse des séquences spectrales d'un complexe de Morse filtrés sont utilisés pour étudier les résultats de continuation globale pour les flots sur les surfaces.
Nous considérons également des systèmes dynamiques discontinus, mais afin de présenter un document concis et cohérent, j'ai choisi de mentionner ces travaux dans l'annexe. Dans ce cas, nous nous intéressons à l'étude des équations différentielles dépendant de façon non régulière sur le temps d'intégration. Dans cette partie on s'intéresse à la existence de solutions périodiques de telles équations.
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