Contributions à l’étude des lois de temps d’atteinte. Applications.
Résumé
L’étude des temps d’atteinte est le thème principal de ma recherche. La notion de temps d’atteinte est importante dans le domaine des probabilités appliquées et elle a fait l’objet des nombreuses études, essentiellement grâce aux applications dans différents domaines (risque de crédit, actuariat, climat...). Dans un premier temps je m’intéresse à la loi des premiers temps d’atteinte pour différents processus stochastiques (processus de renouvellement, mouvement brownien tri-dimensionnel, au processus d’Ornstein-Uhlenbeck avec coefficients constants ou constants par morceaux). Le second chapitre s’inscrit dans l’étude de la statistique des processus et est motivé par l’estimation des mesures de risques climatiques, prévoir et estimer les mesures de risque liées aux canicules par exemple étant un enjeu important. Il serait possible d’estimer ces mesures en connaissant le processus de température. Nous souhaitons reconstruire le processus sous- jacent des températures en nous basant sur les données disponibles dans les stations météo (un échantillon des extrema, et par exemple des maxima). La température est modélisée par l’intermédiaire d’un processus d’Ornstein-Uhlenbeck. Nous proposons deux méthodes d’estimation des paramètres de ce processus à partir des observations de son supremum sur des fenêtres de temps disjointes. Ce chapitre est étroitement associé au premier. Parmi les points communs, on retrouve la loi du supremum sur laquelle est basée l’estimation des paramètres d’un processus d’Ornstein-Uhlenbeck. Cette loi est reliée à celle des temps d’atteinte d’un niveau donné. Enfin, la dernière partie est consacrée à trois applications dans le domaine de la finance et de l’actuariat. Le premier modelé est une extension du modèle uni-périodique de contagion de défauts de Davis et Lo 2001. Dans le second modèle, nous nous sommes intéressés au prix d’indifférence du rachat d’un portefeuille d’assurance-vie contenant m contrats par un assureur détenant déjà un portefeuille à plusieurs contrats. Le troisième modèle constitue une application dans le domaine de la comptabilité des assurances.
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