Non-Linear Problems in Interacting Particle Systems
Problèmes non linéaires dans les systèmes de particules en interaction
Résumé
We present three works on Interacting Particle Systems where some form of non-linearity arises. In the context of the description of Non-Equilibrium Steady States (NESS), we formulate a Matrix Product Ansatz in order to describe the NESS of a process defined on the lattice $\Lambda_N = \{1, \dots, N\}$, evolving as the SSEP in $\{2, \dots, N - 1\}$ and coupled with two-site reaction-diffusion processes at the boundaries, acting on the pairs of sites $\{1,2\}$ and $\{N-1,N\}$. These pairs of sites can take four different states each, leading to 12 possible transitions between them. We derive a set of constraints where the underlying quadratic algebra is consistent, which are related with the correlation of the reservoirs, present the representation of the objects in the formulation, and provide examples of rates satisfying these constraints.
In the second work, our focus is in generalizing the Porous Media Model (PMM), associated with the hydrodynamic equation $\partial_t \rho = \partial^2 u \rho^m$ for $m \in \mathbb{N}^+$, into a universal exclusion family parametrized by $m \in \mathbb{R}$, and, in particular, representing the transition from the slow diffusion regime ($m > 1$) to the fast diffusion regime ($m < 1$). We successfully treat the case $m \in (0,2)$, encompassing the phase transition $m = 1$, in this manner deriving the Porous Media Equation in the range $m \in (1,2)$, and the Fast Diffusion Equation for $m > 0$.
Next, we generalize the PMM in another direction: constructing the diffusion coefficient $D(\rho) = \rho^n (1 - \rho)^k$ with $n,k \in \mathbb{N}^+$. The generalized PMM that we introduce is a gradient model that inherits theoretical properties from PMM, as, for instance, the presence of mobile clusters and blocked configurations. The construction of the model is indirect and delicate, in order to maintain the gradient property. We then generalize this into a long-range dynamics inheriting the gradient property. The long-range generalization of the dynamics is simple and can be applied to any exclusion process.
Nous présentons trois travaux sur les systèmes de particules en interaction où une certaine forme de non-linéarité apparaît. Dans le contexte de la description des états stationnaires hors équilibre (NESS), nous formulons une *Matrix Product Ansatz* afin de décrire le NESS d’un processus défini sur le réseau $\Lambda_N = \{1, \dots, N\}$, évoluant comme le SSEP sur $\{2, \dots, N - 1\}$ et couplé à des processus de réaction-diffusion à deux sites aux frontières, agissant sur les paires de sites $\{1,2\}$ et $\{N-1,N\}$. Ces paires de sites peuvent prendre chacune quatre états différents, menant à 12 transitions possibles entre elles. Nous dérivons un ensemble de contraintes pour lesquelles l’algèbre quadratique sous-jacente est cohérente, lesquelles sont liées à la corrélation des réservoirs. Nous présentons la représentation des objets dans cette formulation et fournissons des exemples de taux satisfaisant ces contraintes.
Dans le second travail, notre attention se porte sur la généralisation du modèle des milieux poreux (PMM), associé à l’équation hydrodynamique $\partial_t \rho = \partial^2 u \rho^m$ pour $m \in \mathbb{N}^+$, en une famille universelle d’exclusion paramétrée par $m \in \mathbb{R}$, représentant en particulier la transition du régime de diffusion lente ($m > 1$) au régime de diffusion rapide ($m < 1$). Nous traitons avec succès le cas $m \in (0,2)$, englobant la transition de phase $m = 1$, dérivant ainsi l’équation des milieux poreux dans l’intervalle $m \in (1,2)$, et l’équation de diffusion rapide pour $m > 0$.
Ensuite, nous généralisons le PMM dans une autre direction : en construisant le coefficient de diffusion $D(\rho) = \rho^n (1 - \rho)^k$ avec $n, k \in \mathbb{N}^+$. Le PMM généralisé que nous introduisons est un modèle gradient qui hérite des propriétés théoriques du PMM, telles que, par exemple, la présence de clusters mobiles et de configurations bloquées. La construction du modèle est indirecte et délicate, afin de préserver la propriété de gradient. Nous généralisons ensuite ce modèle à une dynamique à longue portée qui conserve la propriété de gradient. La généralisation à longue portée de la dynamique est simple et peut être appliquée à tout processus d’exclusion.
| Origine | Fichiers produits par l'(les) auteur(s) |
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