Phase Retrieval with Non-Euclidean Bregman based Geometry
Reconstruction de phase avec la Géométrie non-Euclidienne à la Bregman
Résumé
In this work, we investigate the phase retrieval problem of real-valued signals in finite dimension, a challenge encountered across various scientific and engineering disciplines. It explores two complementary approaches: retrieval with and without regularization. In both settings, our work is focused on relaxing the Lipschitz-smoothness assumption generally required by first-order splitting algorithms, and which is not valid for phase retrieval cast as a minimization problem. The key idea here is to replace the Euclidean geometry by a non-Euclidean Bregman divergence associated to an appropriate kernel. We use a Bregman gradient/mirror descent algorithm with this divergence to solve the phase retrieval problem without regularization, and we show exact (up to a global sign) recovery both in a deterministic setting and with high probability for a sufficient number of random measurements (Gaussian and Coded Diffraction Patterns). Furthermore, we establish the robustness of this approach against small additive noise. Shifting to regularized phase retrieval, we first develop and analyze an Inertial Bregman Proximal Gradient algorithm for minimizing the sum of two functions in finite dimension, one of which is convex and possibly nonsmooth and the second is relatively smooth in the Bregman geometry. We provide both global and local convergence guarantees for this algorithm. Finally, we study noiseless and stable recovery of low complexity regularized phase retrieval. For this, we formulate the problem as the minimization of an objective functional involving a nonconvex smooth data fidelity term and a convex regularizer promoting solutions conforming to some notion of low complexity related to their nonsmoothness points. We establish conditions for exact and stable recovery and provide sample complexity bounds for random measurements to ensure that these conditions hold. These sample bounds depend on the low complexity of the signals to be recovered. Our new results allow to go far beyond the case of sparse phase retrieval.
Dans ce travail, nous nous intéressons au problème de reconstruction de phase de signaux à valeurs réelles en dimension finie, un défi rencontré dans de nombreuses disciplines scientifiques et d’inénierie. Nous explorons deux approches complémentaires : la reconstruction avec et sans régularisation. Dans les deux cas, notre travail se concentre sur la relaxation de l’hypothèse de Lipschitz-continuité généralement requise par les algorithmes de descente du premier ordre, et qui n’est pas valide pour la reconstruction de phase lorsqu’il formulée comme un problème de minimisation. L’idée clé ici est de remplacer la géométrie euclidienne par une divergence de Bregman non euclidienne associée à un noyau générateur approprié. Nous utilisons un algorithme de descente miroir ou de descente à la Bregman avec cette divergence pour résoudre le problème de reconstruction de phase sans régularisation. Nous démontrons des résultats de reconstruction exacte (à un signe global près) à la fois dans un cadre déterministe et avec une forte probabilité pour un nombre suffisant de mesures aléatoires (mesures Gaussiennes et pour des mesures structurées comme la diffraction codée). De plus, nous établissons la stabilité de cette approche vis-à-vis d’un bruit additif faible. En passant à la reconstruction de phase régularisée, nous développons et analysons d’abord un algorithme proximal inertiel à la Bregman pour minimiser la somme de deux fonctions, l’une étant convexe et potentiellement non lisse et la seconde étant relativement lisse dans la géométrie de Bregman. Nous fournissons des garanties de convergence
à la fois globale et locale pour cet algorithme. Enfin, nous étudions la reconstruction sans bruit et la stabilité du problème régularisé par un a priori de faible complexité. Pour celà, nous formulons le problème comme la minimisation d’une objective impliquant un terme d’attache aux données non
convex et un terme de régularisation convexe favorisant les solutions conformes à une certaine notion de faible complexité. Nous établissons des conditions pour une reconstruction exacte et stable et fournissons des bornes sur le nombre de mesures aléatoires suffisants pour de garantir que ces conditions soient remplies. Ces bornes d’échantillonnage dépendent de la faible complexité des signaux à reconstruire. Ces résultats nouveaux permettent d’aller bien au-delà du cas de la reconstruction de phase parcimonieuse.
| Origine | Fichiers produits par l'(les) auteur(s) |
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