La géométrie Kählérienne forme un domaine où les interactions entre la géométrie algébrique et la géométrie différentielle sont fructueuses et, souvent, inévitables. Mon travail de recherche porte principalement sur l’existence, ou non, de métriques Kählériennes canoniques sur les variétés complexes, c’est-à-dire des métriques qui respectent et révèlent des propriétés importantes de ces variétés : symétries, courbure, possibilité d’en former de bons espaces de modules,... Du côté de la géométrie différentielle, mon travail porte donc sur l’existence ou non de solutions à des équations aux dérivées partielles non linéaires sur les variétés différentielles sous-jacentes. Du côté de la géométrie algébrique, mon travail porte sur la K-stabilité, une notion qui a vu le jour il y a une trentaine d’années, pour devenir un des sujets d’étude majeurs actuellement. Si la relation entre ces deux aspects est de mieux en mieux comprise (grâce notamment à la résolution de la conjecture YTD dans le cas des métriques Kähler-Einstein sur les variétés Fano), chacun d’eux reste relativement mystérieux en général. Pour mieux comprendre, il faut étudier ces problèmes sur des variétés dont on connaît déjà, un peu, la géométrie. Je me suis concentré, depuis ma thèse, sur le cas des variétés sphériques. Il s’agit de variétés qui ont beaucoup de symétries (tout un groupe de matrices à coefficients complexes, par exemple GL n ( C ) ), et qui sont encodées de manière combinatoire (généralisant la correspondance mieux connues entre variétés toriques et polytopes). J’ai obtenu, sur ces variétés, des critères combinatoires effectivement vérifiables d’existence de métriques canoniques et de K-stabilité. J’ai aussi obtenu des exemples pour lesquels aucune métrique canonique raisonnable ne semble exister, et étudié les phénomènes de dégénérescence lorsque les métriques canoniques n’existent pas (de manière équivalente, dans le cas K-instable).