On geometric models of epistemic logic
Modèles géométriques de la logique épistémique
Résumé
One approach established a topological perspective on distributed computing, expressing solvability of distributed tasks through standard notions of algebraic topology, by modelling spaces of states as simplicial complexes. In parallel, a prominent application of epistemic logic, a type of modal logic, provided an alternative point of view on the structure of distributed systems, by using the notion of knowledge to describe the behavior of processes in a system. It has recently been realized that these two approaches are closely related, and that the topological models can, in fact, serve as models of epistemic logic. This thesis continues a research program aimed at unification of these two approaches. Our first goal is to generalize the existing semantics of epistemic logic based on simplicial complexes to the case of simplicial sets. We show that with these models one can express non-standard group knowledge, that is situations when knowledge of a group seen as a whole is strictly greater than the union of knowledge of its members. We then proceed to study a many-sorted variant of epistemic logic, where properties of the environment and local properties of agents are expressed separately. This logic is interpreted in chromatic hypergraphs, which are a further generalization of simplicial complexes, allowing us to emphasize the role of local points of view of agents in distributed systems. We also investigate the dynamics of knowledge in distributed systems by introducing a dynamic variant of chromatic hypergraphs. In these models, local views of agents are supplemented with a temporal structure, which allows us to model the evolution of knowledge in time. Additionally, we discuss the relationship between knowledge and concurrency in this setting. Finally, we present a new direction of research that focuses on the use of higher categories in the study of many-sorted modal logics. We show that certain logics can be represented as categories enriched over partial orders, and that there is a naturally arising class of algebraic models, with respect to which the logic is complete.
Il y a environ 30 ans, deux approches majeures pour l'étude des systèmes distribués ont été développées. Une des approches a établi une perspective topologique sur le calcul distribué, exprimant la solvabilité des tâches distribuées à travers des notions standards de topologie algébrique, en modélisant les espaces d'états sous forme de complexes simpliciaux. En parallèle, une application importante de la logique épistémique, un type de logique modale, a apporté un point de vue alternatif sur la structure des systèmes distribués, en utilisant la notion de connaissance pour décrire le comportement des processus dans un système. On s'est récemment rendu compte que ces deux approches sont étroitement liées et que les modèles topologiques peuvent, en fait, servir de modèles de logique épistémique. Cette thèse poursuit un programme de recherche visant à unifier ces deux approches. Le premier objectif est de généraliser la sémantique actuelle de la logique épistémique basée sur les complexes simpliciaux au cas des ensembles simpliciaux. Nous montrons qu'avec ces modèles, on peut exprimer des connaissances de groupe non standard, c'est-à-dire des situations où la connaissance d'un groupe vu dans son ensemble est strictement supérieure à l'union des connaissances de ses membres. On considère ensuite une variante multi-sortes de la logique épistémique, dans laquelle les propriétés de l'environnement et les propriétés locales des agents sont exprimées séparément. Cette logique est interprétée dans les hypergraphes chromatiques, qui sont une généralisation supplémentaire des complexes simpliciaux, nous permettant de souligner le rôle des points de vue locaux des agents dans les systèmes distribués. On étudie la dynamique de la connaissance dans les systèmes distribués en introduisant une variante dynamique des hypergraphes chromatiques. Dans ces modèles, les points de vue locaux des agents sont dotés d'une structure temporelle, ce qui permet de modéliser l'évolution des connaissances dans le temps. De plus, on discute de la relation entre la connaissance et la concurrence dans ce contexte. Enfin, on présente une nouvelle direction de recherche qui se concentre sur l'utilisation de catégories supérieures dans l'étude des logiques modales multi-sortes. On montre que certaines logiques peuvent être représentées comme des catégories enrichies sur des ordres partiels, et qu'il y a une classe naturelle de modèles algébriques, par rapport à laquelle la logique est complète.
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