Fast-slow systems in vibration mechanics
Systèmes rapides-lents en mécanique vibratoire
Abstract
The common thread of the research work presented in this thesis is the implementation of analytical and numerical methods to describe the dynamic behavior of nonlinear mechanical systems, which have several characteristic time scales and may be stochastic. I have developed these activities within the framework of two research areas in vibration and acoustics.
The first area concerns the passive attenuation of vibrations using nonlinear absorbers known as NESs (Nonlinear Energy Sinks). In this context, I am particularly interested in the control of self-sustained oscillations. The latter generally occur in dynamical systems whose equilibrium solution becomes unstable in favor of an oscillating solution, usually periodic. As the amplitude of these oscillations can be very large, it is desirable to be able to attenuate them. NESs are also oscillators with the particularity of possessing an essentially nonlinear stiffness, which gives them the ability to resonate at any frequency. When an NES is coupled to a self-sustaining oscillator, the resulting dynamic system has a number of solutions, some of which correspond to low-amplitude oscillations. The aim is to understand how to favor these solutions over others where the NES is almost inoperative.
The second area concerns the study of transient phenomena in single-reed musical instruments such as clarinets and saxophones. This work is situated within the general context of the study of strategies followed by musicians during transient phases: note attacks, transitions between two notes, extinction transients, etc. In particular, it aims to correlate gestures (or time evolutions of control parameters) with sound results. In this context, my work focuses on the study of attack transients. From the point of view of dynamical systems, this leads me to study the influence of the time variation of bifurcation parameters on the emergence of a periodic solution, but also on the basins of attraction when multistability occurs.
Although far apart in terms of application, it turns out that the systems studied in these two research areas (the self-oscillating mechanical system coupled to a NES on the one hand, and the instrument during attack transients on the other) have a common feature. Both are modeled by systems of differential equations, which reveal a small parameter highlighting their fast-slow nature. The time evolution of state variables in such fast-slow systems is characterized by a succession of fast and slow epochs. This common nature also enables these systems to be studied within a common mathematical framework. Within the mechanics and acoustics community, the originality of my approach lies above all in the appropriation of theoretical results known to mathematicians on singularly perturbed ordinary differential equations with the aim of understanding the complex behaviors of the concrete mechanical systems under consideration.
For each of the above-mentioned areas of research, my main contributions to the state of the art are presented, together with the prospects I envisage for the short- and medium- terms.
Le fil conducteur des travaux de recherche présentés dans ce mémoire est la mise en œuvre de méthodes analytiques et numériques permettant de décrire le comportement dynamique de systèmes mécaniques non linéaires, possédant plusieurs échelles de temps caractéristiques et pouvant être stochastiques. J’ai développé ces activités dans le cadre de deux thématiques en vibrations et en acoustique.
La première thématique concerne l'atténuation passive de vibrations à l'aide d'absorbeurs non linéaires de type Nonlinear Energy Sink, traduction anglaise de « puits d'énergie non linéaire »). Dans ce contexte, je m'intéresse en particulier au contrôle d'oscillations auto-entretenues. Ces dernières se produisent en général dans des systèmes dynamiques dont la solution d'équilibre devient instable au profit d'une solution oscillante, en général périodique. L'amplitude de ces oscillations pouvant être très importante, il est souhaitable de pouvoir les atténuer. Les NES sont également des oscillateurs avec la particularité de posséder une raideur essentiellement non linéaire qui leur confère la capacité de résonner à n’importe quelle fréquence. Lorsqu'un NES est couplé à un oscillateur auto-entretenu, le système dynamique résultant possède un certain nombre de solutions dont certaines correspondent à des oscillations de faible amplitude. L'objectif est donc de comprendre comment favoriser ces solutions par rapport à d'autres où le NES est presque inopérant.
La seconde thématique porte sur l'étude des phénomènes transitoires dans les instruments de musique à anche simple de type clarinette ou saxophone. Ce travail se situe dans le contexte général de l'étude des stratégies suivies par les musiciens lors des phases transitoires: attaques de notes, transitions entre deux notes, transitoires d'extinction, etc. En particulier, cela vise à corréler les gestes (ou évolutions temporelles de paramètres de contrôle) aux résultats sonores. Dans ce contexte mon travail se focalise sur l'étude des transitoires d'attaque. Du point de vue des systèmes dynamiques cela nous conduit à étudier l'influence de la variation dans le temps des paramètres de bifurcation sur l'émergence d'une solution périodique mais également sur les bassins d'attraction en cas de multistabilité.
Bien qu’éloignées en termes d’application, il s'avère que les systèmes étudiés dans ces deux thématiques (le système mécanique auto-oscillant couplé à un NES d'une part et l'instrument en régime transitoire d'autre part) possèdent une caractéristique commune. En effet, ils sont tous les deux modélisés par des systèmes d'équations différentielles qui une fois adimensionnés font apparaitre un petit paramètre mettant en évidence leur nature rapide-lente. L'évolution dans le temps des variables d'état de tels systèmes rapides-lents se caractérise par une succession de phases rapides et de phases lentes. Cette nature commune permet également l'étude de ces systèmes dans un cadre mathématique commun. Au sein de la communauté des mécaniciens et des acousticiens, l'originalité de ma démarche réside surtout dans l'appropriation de résultats théoriques connus des mathématiciens sur les équations différentielles ordinaires singulièrement perturbées dans le but de comprendre les comportements complexes des systèmes mécaniques concrets considérés.
Pour chacune des thématiques mentionnées ci-dessus, mes contributions principales par rapport à l’état de l’art sont présentées ainsi que les perspectives que j’envisage à court et moyen terme.
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