Finite-time control and estimation of some classes of PDEs
Contrôle et estimation en temps fini de certaines classes d'EDP
Résumé
This Ph.D. thesis is devoted to the problems of non-asymptotic (finite, fixed, prescribed-time) estimation and stabilization of some classes of infinite-dimensional systems, namely LTI systems subject to input/sensor (pointwise or distributed) delays and reaction-diffusion PDEs. As the existing results on these classes of systems are few, we begin by reviewing relevant concepts and results on non-asymptotic tools (including homogeneity-based tools and time-varying tools) for finite-dimensional systems. Afterward, we extend these tools to infinite-dimensional settings. Firstly, we start with the problem of input and sensor delay compensation in finite/fixed/prescribed time of LTI systems where we use the so-called backstepping approach for PDEs (with some nonlinear and/or time-varying invertible transformations). To apply this approach, we reformulate the considered LTI system into a cascade ODE-PDE system where the PDE part is a hyperbolic transport equation that models the effect of the delay on the input/output. Secondly, we consider the problem of boundary state-dependent finite/fixed-time stabilization of reaction-diffusion PDEs. To the best of our knowledge, this problem has remained open in the literature for a considerable long time. We tackle this challenging problem using classical methods related to Control Lyapunov Functions CLF. We provide some hints on how we to extend this approach to input-to-state stabilization and nonasymptotic tracking problems for reaction-diffusion PDEs. We point out the limitations of our approach to observer design. Finally, we tackle the problem of input delay compensation of reaction-diffusion systems in prescribed time by output feedback using the backstepping approach. This problem is challenging, as one deals with observer and control designs with some time-varying gains that go to infinity when the time gets closer to the prescribed time of convergence.
L'objectif principal de cette thèse est d'explorer et d'analyser les problèmes d'estimation et de stabilisation non-asymptotique (en temps fini, fixe, et prescrit) de certaines classes de systèmes de dimension infinie, notamment les systèmes linéaires invariants en temps avec retards (ponctuels ou distribués) d'entrée ou de sortie et les équations aux dérivées partielles (EDP) de type réaction diffusion. Comme les résultats existants sur ces classes de systèmes sont peu nombreux, nous commençons par revoir les concepts et les résultats sur les outils non asymptotiques pour les systèmes de dimension finie. Ensuite, nous étendons ces outils pour les systèmes de dimension infinie. Dans ce contexte, nous commençons par le problème de compensation, en temps fini/fixe, des retards d'entrée et de sortie pour les systèmes LTI en utilisant la méthode du ``backstepping'' pour les EDP (avec des transformations inversibles non-linéaires et/ou variant en temps). Pour appliquer cette approche, nous reformulons le système considéré en une cascade de système EDO-EDP où la partie EDP est une équation de transport hyperbolique qui modélise l'effet du retard sur l'entrée/sortie. Ensuite, nous traitons le problème de la stabilisation frontière en temps fini/fixe d'une classe des EDP de réaction diffusion. A notre connaissance, ce problème est resté ouvert dans la littérature pendant une période considérable. Nous abordons ce problème complexe à l'aide de méthodes classiques liées aux Fonctions de Lyapunov de Contrôle (CLF). Nous donnons quelques indications sur l'extension de cette approche au problème de stabilisation entrée-état (ISS) et au problème du suivi en temps fini/fixe pour les EDP de réaction diffusion. Nous soulignons les limitations de notre méthode pour la conception des observateurs. Enfin, nous abordons le problème de la compensation, en temps prescrit, des retards d'entrée des systèmes de réaction diffusion par une commande par retour d'état basée sur un observateur en utilisant la méthode du backstepping pour les EDP. Ce problème est difficile, car il nécessite de traiter la conception des observateurs et des contrôleurs avec des gains variant en temps qui tendent vers l'infini lorsque le temps se rapproche du temps prescrit de convergence.
Mots clés :
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