Cycles and paths in digraphs, monomial ideals and integer partitions
Cycles et chemins dans les digraphes, idéaux monomiaux et partitions des nombres entiers
Résumé
In this thesis, we work in two directions, both concerning problems in combinatorics.
The first direction is related to the study of an important invariant of
oriented graphs which is the chromatic number. Given a graph with a large
chromatic number, it is natural to ask whether it must contain a cycle or
path with particular properties. We are interested in studying such questions
in directed graphs. More precisely, we are interested in the study of the existence of special oriented paths or cycles in digraphs with bounded chromatic
numbers.
The second direction concerns the study of identities of integer partitions
using algebraic and combinatorial tools. Two of the most famous identities of
integer partitions were found by Rogers and Ramanujan. We prove two new
partition identities dual to those. These new identities are inspired by a correspondence between three kinds of objects: neighborly partitions, monomial
ideals, and some infinite graphs.
Dans cette thèse, nous travaillons dans deux directions, toutes deux concernent des problèmes de combinatoire.
La première direction est liée à l’étude d’un invariant important des graphes
orientés qui est le nombre chromatique. Étant donné un graphe dont le nombre chromatique est assez grand, il est naturel de se demander s’il doit contenir
un cycle ou un chemin avec des propriétés particulières. Nous nous sommes
intéressés à étudier une telle question pour les graphes orientés. Plus précisément, nous nous intéressons à l’étude de l’existence de certains chemins et
cycles orientés dans les digraphes avec nombres chromatiques bornés.
La deuxième direction concerne l’étude des identités des partitions entières
à l’aide d’outils algébriques et combinatoires. Deux des identités les plus
célèbres des partitions entières ont été trouvées par Rogers et Ramanujan.
Nous prouvons deux nouvelles identités de partitions duales de celles-ci. Ces
nouvelles identités s’inspirent d’une correspondance entre trois types d’objets:
les partitions voisines, les idéaux monomiaux et certains graphes infinis.
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