Point processes for numerical integration
Processus ponctuels pour l'intégration numérique
Résumé
The Monte Carlo method estimates an integral using pointwise evaluations of the integrand at some points called nodes, which can be chosen as the points of a point process. While crude Monte Carlo relies on a homogeneous Poisson point process (PPP), some more regularly spread point processes yield Monte Carlo methods with faster-decaying variance.
In this thesis, we study two families of regular point processes that are potential candidate nodes to speed up the convergence of crude Monte Carlo. The first one is the family of hyperuniform point processes (HUPPs).
A HUPP is characterized by the variance of the number of points in a large window scaling slower than the volume of that window. In particular, a HUPP yields a Monte Carlo estimator of volumes with a faster decaying variance than under the PPP. Unfortunately, proving that a point process is hyperuniform is usually difficult.
Aiming to provide statistical tools for identifying HUPPs we examine a spectral measure called the structure factor whose decay around zero provides a diagnostic of hyperuniformity. We provide a survey and derivation of natural estimators of the structure factor and contribute an asymptotically valid statistical test of hyperuniformity. We further provide a Python toolbox containing all the estimators and tools that we discuss.
The second family of point processes under consideration pertains to repelled point processes which we construct using a so-called repulsion operator. The repulsion operator reduces clustering in a configuration of points by slightly pushing the points away from each other. Our main theoretical result is that applying the repulsion operator to a PPP yields an unbiased Monte Carlo method with lower variance than under the original PPP. Moreover, our numerical investigations shed light on the operator's variance reduction ability, even when applied to more regular point processes than the PPP. This suggests that applying the repulsion operator to the nodes of any Monte Carlo method may decrease its variance and thus enhance the method's statistical accuracy.
La méthode de Monte Carlo estime une intégrale en utilisant des évaluations de l'intégrande en certains points appelés noeuds, qui peuvent être choisis comme les points d'un processus ponctuel. Alors que la méthode Monte Carlo brute repose sur le processus ponctuel de Poisson homogène (PPP), certains processus de points plus régulièrement répartis produisent des méthodes avec une décroissance plus rapide de la variance. Dans cette thèse, nous étudions deux familles de processus ponctuels réguliers qui sont des candidats potentiels pour accélérer la convergence de la méthode Monte Carlo brute.
La première famille est celle des processus ponctuels hyperuniformes (HUPPs). Un HUPP est caractérisé par la variance du nombre de points dans une grande fenêtre qui évolue plus lentement que le volume de cette fenêtre. En particulier, un HUPP fournit un estimateur Monte Carlo des volumes avec une décroissance de la variance plus rapide que la méthode Monte Carlo brute. Malheureusement, prouver qu'un processus ponctuel est hyperuniforme est généralement difficile. Dans le but de fournir des outils statistiques pour identifier les HUPPs, nous examinons une mesure spectrale appelée la fonction de structure, dont la décroissance autour de zéro permet de diagnostiquer l'hyperuniformité. Nous étudions la dérivation des estimateurs existants de la fonction de structure et contribuons un test statistique asymptotiquement valide de l'hyperuniformité. De plus, nous fournissons une librairie Python contenant tous les estimateurs et outils que nous discutons.
La deuxième famille de processus ponctuels que nous étudions est constituée des processus ponctuels repoussés, que nous avons construits en utilisant un opérateur de répulsion. L'opérateur de répulsion réduit le regroupement dans une configuration de points en repoussant légèrement les points les uns des autres. Notre principal résultat théorique est que l'application de l'opérateur de répulsion à un PPP fournit une méthode de Monte Carlo non biaisée avec une variance inférieure qu'avec un PPP. De plus, nos simulations numériques mettent en lumière la capacité de l'opérateur de réduire la variance, même lorsqu'il est appliqué à des processus ponctuels plus réguliers que le PPP. Cela suggère que l'application de l'opérateur de répulsion aux noeuds de n'importe quelle méthode de Monte Carlo peut réduire sa variance et ainsi améliorer la précision statistique de la méthode.
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