Exact computations with quasiseparable matrices and polynomial matrices with a displacement structure
Calcul exact avec des matrices quasiséparables et des matrices polynomiales à structure de déplacement
Résumé
This thesis in exact linear algebra presents fast algorithms for the computation of the determinant ofpolynomial matrices with a displacement structure and a study of quasiseparable matrix formats.Polynomial matrices with a displacement structure have a double structure linked to bivariate polynomials. Computing products of such matrices with techniques used on matrices over a field leads toquasi-linear costs. This is not the case when computing a determinant. Progress was recently made on thisoperation in the cases of Sylvester matrices and matrices of modular product. By extending the scope ofthese two algorithms we improve the complexity for computing the characteristic polynomial of Toeplitz-likeand Hankel-like matrices. We also improve the cost of the computation of the bivariate resultant by studyingthe structure of the matrices used in high-order lifting on a Sylvester matrix and adapting the “baby steps/giantsteps” technique to this problem.We also give a comparative study of quasiseparable matrix formats. We compare the costs of basicoperations for the Bruhat, SSS and HSS formats both theoretically including the leading constants of theirasymptotic costs and experimentally with implementations in the exact linear algebra library fflas-ffpack. Forthis comparison we adapt the SSS and HSS format to exact computations and present a new Bruha tcompression algorithm applicable to multiple input formats, including sparse matrices.
Cette thèse en algèbre linéaire exacte présente des algorithmes rapides pour le calcul du déterminant de matrices polynomiales à structure de déplacement et une étude de formats de matrices quasiséparables. Les matrices polynomiales à structure de déplacement ont une double structure liée à des polynômes bivariés. Les techniques de calcul de produit existant pour les matrices sur un corps s’appliquent aux matrices polynomiales avec un coût quasi-linéaire en la taille de l’entrée. Ce n’est pas le cas pour les techniques de calcul du déterminant. Des avancées récentes ont permis de réduire le coût de ce calcul dans les cas des matrices de Sylvester et des matrices caractéristiques de matrices de multiplication modulaire. En élargissant le domaine d’application de ces deux algorithmes nous améliorons le coût du calcul du polynôme caractéristique de matrices quasi-Toeplitz et quasi-Hankel. Nous améliorons ensuite le coût du calcul du résultant bivarié en présentant un algorithme ayant nécessité l’analyse de la structure des matrices intervenant dans la remontée d’ordre élevé pour l’inverse d’une matrice de Sylvester afin d’adapter la technique des « pas de bébés, pas de géants » au calcul des termes de l’inverse de matrices polynomiales plus générales que les seules matrices caractéristiques.Une étude comparative est aussi faite sous l’angle du calcul formel pour différents formats de stockage de matrices quasiséparables. Les formats HSS et SSS sont utilisés en calcul numérique, seuls les formats Bruhat et RRR avaient été étudiés pour le calcul exact. Sont présentés une adaptation des formats HSS et SSS à ce cadre et une nouvelle version de l’algorithme de compression Bruhat prenant en entrée une matrice sous format quelconque, pour utilisation dans le cas d’une matrice creuse et d’une matrice provenant de la somme de deux matrices sous format Bruhat. Les comparaisons se font en termes théoriques et pratiques, avec des implémentations dans la bibliothèque d’algèbre linéaire exacte fflas-ffpack.
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