Approximation of the stochastic differential equation with jumps and convergence in total variation distance - Archive ouverte HAL Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2023

Approximation of the stochastic differential equation with jumps and convergence in total variation distance

Approximation de l'équation différentielle stochastique avec sauts et convergence en distance de la variation totale

Yifeng Qin
  • Fonction : Auteur
  • PersonId : 753089
  • IdHAL : yifeng-qin

Résumé

In this thesis, we consider the approximation of the solution of the stochastic differential equation with jumps and we focus on the convergence in total variation distance. The main method we use is the integration by parts technique in Malliavin calculus. This thesis contains three parts. In the first part, we want to obtain an accurate approximation scheme for the jump equation. Following the idea of $\cite{1ref23}$, we replace the "small jumps" by a Brownian motion. We prove that for every fixed time $t$, the approximate random variable $X^\varepsilon_t$ converges to the original random variable $X_t$ in total variation distance and we estimate the error. We also give an estimate of the distance between the densities of the laws of the two random variables. In the second part, we deal with Mckean-Vlasov and Boltzmann type jump equations. This means that the coefficients of the equation depend on the law of the solution, and the equation is driven by a Poisson point measure with intensity measure which depends on the law of the solution as well. In $\cite{2ref1}$, Alfonsi and Bally have proved that under some suitable conditions, the solution $X_t$ of such equation exists and is unique. They also prove that $X_t$ is the probabilistic interpretation of an analytical weak equation. Moreover, given a partition $\mathcal{P}$ of the time interval, they define $X_t^{\mathcal{P}}$ to be the Euler scheme associated to $\mathcal{P}$, and prove that $X_t^{\mathcal{P}}$ converges to $X_t$ in Wasserstein distance. In this thesis, under more restricted assumptions, we show that the Euler scheme $X_t^{\mathcal{P}}$ converges to $X_t$ in total variation distance and $X_t$ has a smooth density (which is a function solution of the analytical weak equation). On the other hand, in view of simulation, we use a truncated Euler scheme $X^{\mathcal{P},M}_t$ which has a finite numbers of jumps in any compact interval. We prove that $X^{\mathcal{P},M}_{t}$ also converges to $X_t$ in total variation distance. Finally, we give an algorithm based on a particle system associated to $X^{\mathcal{P},M}_t$ in order to approximate the density of the law of $X_t$. Complete estimates of the error are obtained. In the third part, we establish an abstract framework for the approximation for the invariant probability measure of a Markov semigroup. Following the approach from $\cite{3ref7}$, we use the Euler scheme with decreasing steps (which is called the unadjusted Langevin algorithm in the Monte Carlo literature) to do the simulation. Under some "exponential Lipschitz property" and regularization properties, we give an estimate of the error in total variation distance. The main results in $\cite{3ref7}$ and $\cite{3ref14}$ are particular cases of our framework. We also apply this framework to jump processes and obtain an estimate of the approximation for the invariant probability measure in total variation distance.
Dans cette thèse, nous considérons l'approximation de la solution de l'équation différentielle stochastique avec des sauts et nous nous concentrons sur la convergence en distance de la variation totale. La principale méthode que nous utilisons est la technique d'intégration par parties dans le calcul de Malliavin. Cette thèse contient trois parties. Dans la première partie, nous voulons obtenir un schéma d'approximation précis pour l'équation de saut. Suivant l'idée de $\cite{1ref23}$, nous remplaçons les "petits sauts" par un mouvement brownien. Nous prouvons que pour chaque temps fixé $t$, la variable aléatoire approchée $X^\varepsilon_t$ converge vers la variable aléatoire originale $X_t$ en distance de variation totale et nous estimons l'erreur. Nous donnons également une estimation de la distance entre les densités des lois des deux variables aléatoires. Dans la seconde partie, nous traitons des équations à sauts de type Mckean-Vlasov et Boltzmann. Cela signifie que les coefficients de l'équation dépendent de la loi de la solution et que l'équation est dirigée par une mesure ponctuelle de Poisson avec une mesure d'intensité qui dépend également de la loi de la solution. Dans $\cite{2ref1}$, Alfonsi et Bally ont prouvé que sous certaines conditions convenables, la solution $X_t$ d'une telle équation existe et est unique. Ils prouvent également que $X_t$ est l'interprétation probabiliste d'une équation faible analytique. De plus, étant donné une partition $\mathcal{P}$ de l'intervalle de temps, ils définissent $X_t^{\mathcal{P}}$ comme étant le schéma d'Euler associé à $\mathcal{P}$, et prouvent que $X_t ^{\mathcal{P}}$ converge vers $X_t$ en distance de Wasserstein. Dans cette thèse, sous des hypothèses plus restreintes, nous montrons que le schéma d'Euler $X_t^{\mathcal{P}}$ converge vers $X_t$ en distance de variation totale et $X_t$ a une densité "smooth" (qui est une fonction solution de l'équation faible analytique). D'autre part, en vue de la simulation, nous utilisons un schéma d'Euler tronqué $X^{\mathcal{P},M}_t$ qui a un nombre fini de sauts dans tout intervalle compact. Nous prouvons que $X^{\mathcal{P},M}_{t}$ converge également vers $X_t$ en distance de variation totale. Enfin, nous donnons un algorithme basé sur un système de particules associé à $X^{\mathcal{P},M}_t$ afin d'approximer la densité de la loi de $X_t$. Des estimations complètes de l'erreur sont obtenues. Dans la troisième partie, nous établissons un cadre abstrait pour l'approximation de la mesure de probabilité invariante d'un semi-groupe de Markov. Suivant l'approche de $\cite{3ref7}$, nous utilisons le schéma d'Euler avec étapes décroissantes (qui est appelé l'algorithme de Langevin non-ajusté dans les littératures de Monte Carlo) pour faire la simulation. Sous certaines "propriétés de Lipschitz exponentielle" et propriétés de régularisation, nous donnons une estimation de l'erreur en distance de la variation totale. Les principaux résultats dans $\cite{3ref7}$ et $\cite{3ref14}$ sont des cas particuliers de notre cadre. Nous appliquons également ce cadre aux processus de saut et obtenons une estimation de l'approximation de la mesure de probabilité invariante en distance de variation totale.
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Origine : Fichiers produits par l'(les) auteur(s)

Dates et versions

tel-04231403 , version 1 (06-10-2023)
tel-04231403 , version 2 (08-11-2023)

Identifiants

  • HAL Id : tel-04231403 , version 1

Citer

Yifeng Qin. Approximation of the stochastic differential equation with jumps and convergence in total variation distance. Mathematics [math]. Université Gustave Eiffel, 2023. English. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-04231403v1⟩
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