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Hdr Année : 2023

Construction and analysis of numerical schemes for models from physics

Construction et analyse de schémas numériques pour des modèles issus de la physique

Résumé

Les travaux présentés dans ce manuscrit concernent le développement et l’analyse de schémas numériques de type volumes finis discrétisant des équations aux dérivées partielles, qui apparaissent notamment dans des modèles issus de la physique. Un intérêt particulier est porté à la préservation au niveau discret de propriétés du modèle continu : comportements asymptotiques (en temps long, à la limite de diffusion) et conservation de quantités physiques entre autres. Une attention spécifique est accordée aux discrétisations, qui sont construites de sorte à pouvoir adapter au cadre discret les outils d’analyse du cadre continu, et ainsi proposer une étude mathématique rigoureuse des méthodes numériques obtenues. Le manuscrit est composé de trois parties, comportant chacune deux chapitres. La première partie concerne la construction et l’étude de schémas numériques pour deux modèles de semi-conducteurs : le système de dérive-diffusion et le modèle de transport d’énergie. Le chapitre 1 est dédié à l’étude du comportement en temps long d’une discrétisation du système de dérive-diffusion par un schéma volumes finis avec flux de Scharfetter-Gummel généralisés. La convergence en temps long à taux exponentiel des solutions numériques vers une approximation de l’équilibre thermique est démontrée grâce au contrôle de l’entropie relative par la production d’entropie. Ce résultat est obtenu sous l’hypothèse de bornes uniformes en temps sur les densités approchées de porteurs de charge, qui sont prouvées rigoureusement dans le cas où la diffusion est linéaire. Le chapitre 2 est consacré à la construction et l’analyse de schémas volumes finis pour le modèle de transport d’énergie. L’idée est de construire un schéma de sorte à pouvoir en obtenir une reformulation équivalente en variables duales entropiques, permettant de démontrer la décroissance d’une entropie discrète et le contrôle de la production d’entropie discrète correspondante. Partant de ce premier résultat, un certain nombre de propriétés peuvent être analysées : estimations a priori, existence d’une solution approchée, comportement en temps long. La deuxième partie se concentre sur l’étude de la convergence vers la limite de diffusion de schémas numériques pour des systèmes hyperboliques avec termes sources. Le chapitre 3 est consacré à l’étude de convergence à la limite de diffusion d’un schéma préservant l’asymptotique pour le p-système avec amortissement. La nouveauté principale de ce travail est l’établissement d’un taux explicite de convergence, obtenu par une estimation d’erreur entre les solutions approchées du système hyperbolique et la limite diffusive approchée, grâce à une version discrète de la méthode d’entropie relative. Le modèle considéré dans le chapitre 4, le système de Saint-Venant avec friction de Manning, fait intervenir une difficulté supplémentaire. En effet, le terme source étant quadratique, l’équation de diffusion limite implique un opérateur non linéaire. Deux discrétisations, de type Godunov à deux états intermédiaires, sont proposées. Leur consistance à la limite de diffusion est établie de manière formelle à l’aide de développements de Chapman-Enskog de la solution approchée. La troisième partie se focalise sur l’analyse numérique de schémas pour des équations cinétiques unidimensionnelles relativement simples. Le chapitre 5 est dédié à la discrétisation d’équations cinétiques linéaires sans champ électromagnétique, où l’opérateur de collision est de type Fokker-Planck ou BGK linéaire. Le schéma volumes finis proposé permet d’établir des estimations a priori dont sont déduites d’une part la préservation de la limite de diffusion au niveau discret, et d’autre part la convergence en temps long, à taux exponentiel, vers l’équilibre. Enfin, le chapitre 6 est consacré à l’étude de stabilité et de convergence de discrétisations conservatives du système de Vlasov-Poisson écrit sous forme d’un système hyperbolique à l’aide de polynômes de Hermite. L’idée principale est de se placer dans un cadre fonctionnel adapté aux variations de la fonction de distribution au cours du temps. Dans ce contexte, une discrétisation de type Galerkin discontinue en espace est considérée, pour laquelle un résultat de convergence avec estimation d’erreur est établi.
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Dates et versions

tel-04187120 , version 1 (24-08-2023)

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Identifiants

  • HAL Id : tel-04187120 , version 1

Citer

Marianne Bessemoulin-Chatard. Construction and analysis of numerical schemes for models from physics. Numerical Analysis [math.NA]. Nantes Université, 2023. ⟨tel-04187120⟩
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