Quadratic normalisations and coherent presentations of monoids
Normalisations quadratiques et présentations cohérentes de monoïdes
Résumé
The principal goal of this thesis is to use the framework of polygraphs for a fine study of the shapes of higher-dimensional cells (of dimension 3, and implicitly of dimension 4) arising from quadratic normalisations appearing in combinatorial group theory. The thesis proposes a construction of coherent presentations for a class of monoids admitting a right-noetherian Garside family. Thereby, it presents a unifying generalisation of two distinct extensions of Deligne’s original construction of coherent presentations of spherical Artin-Tits monoids, given by Gaussent, Guiraud and Malbos: to general Artin-Tits monoids and to Garside monoids.
Furthermore, correspondences are established between the notion of quadratic normalisation and the notion of factorability structure. Namely, factorable monoids are characterised in the axiomatic setting of quadratic normalisations. Additionally, quadratic normalisations of class (4, 3) are characterised in terms of factorability structures and a condition ensuring the termination of the associated rewriting system.
Moreover, a coherent presentation of monoids admitting quadratic normalisation of class (4, 3) is constructed and specialised to the already known column coherent presentation of plactic monoids of type A, constructed by Hage and Malbos.
Le but principal de cette thèse est d’utiliser le cadre des polygraphes pour une étude fine des formes des cellules de dimension supérieure (de dimension 3, et implicitement de dimension 4) provenant des normalisations quadratiques apparaissant en théorie combinatoire des groupes. La thèse propose une construction de présentations cohérentes pour une classe de monoïdes admettant une famille de Garside noethérienne à droite. Ainsi, elle présente une généralisation unificatrice de deux extensions distinctes de la construction originale de Deligne de présentations cohérentes de monoïdes d’Artin-Tits sphériques, données par Gaussent, Guiraud et Malbos : aux monoïdes d’Artin-Tits quelconques, et aux monoïdes de Garside.
En outre, des correspondances sont établies entre la notion de normalisation quadratique et la notion de structure de factorabilité. Les monoïdes factorisables sont caractérisés dans le cadre axiomatique des normalisations quadratiques. En outre, les normalisations quadratiques de classe (4, 3) sont caractérisées en termes de structures de factorabilité et d’une condition garantissant la terminaison du système de réécriture associé.
De plus, on construit une présentation cohérente des monoïdes admettant une normalisation quadratique de classe (4, 3), qui généralise la présentation cohérente construite par Hage et Malbos pour les monoïdes plaxiques de type A à l’aide de la présentation colonne.
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