Modelling, analysis and numerical simulation of a poroelastic shell and its interaction with a fluid
Modélisation, analyse et simulation numérique d'une coque poroélastique et son interaction avec un fluide
Résumé
This thesis is devoted to the study of poroelastic thin shells. For derivation of poroelastic shell equations, we make use of Reissner-Mindlin assumptions for Biot-Naghdi's model and Kirchhoff-Love assumptions for Biot-Koiter's model. We prove the well-posedness of the obtained models by Galerkin semi-discrete method and Banach-Ne cas-Babu ska theorem as well.
Moreover, we establish the strong formulation for Biot-Naghdi poroelastic shell model. Then, we derive the fluid-structure interaction between Stokes incompressible flow and Biot-Naghdi poroelastic shell structure where the non standard slip boundary conditions of Beavers-Joseph-Saffman type on the interface are considered. A Lagrange multiplier method is employed to impose weakly these conditions. We assume that the boundaries and the interface between the fluid and the poroelastic material are fixed. The proof proceeds by constructing a semi-discrete finite element Galerkin approximations and for the existence of the solution we adopt the theory
of differential-algebraic equations. Finally, we simulate the Biot-Naghdi poroelastic shell model by FreeFem++.
Nous proposons dans cette thèse deux modèles de coques poroélastiques. Il s'agit des modèles Biot-Naghdi et Biot-Koiter. Leurs dérivations sont basées sur les hypothèses de Reissner-Mindlin et celles de Kirchhoff-Love respectivement et où la coque poreuse est saturée.
Nous démontrons en utilisant la méthode de Galerkin et le théorème de Banach-Necas-Babuska que ces modèles sont bien posés, c'est-à-dire qu'ils admettent des solutions uniques dans des espaces fonctionnels appropriés.
Nous proposons également un modèle décrivant l'interaction entre un fluide incompressible et une coque poreuse et élastique. C'est le modèle Stokes-Biot-Naghdi. Ici, la structure étant poreuse, les conditions de glissement à l'interface fluide/coque ne sont pas standards. Nous considérons alors les conditions de Beavers-Joseph-Saffman à l'interface sous forme faible en introduisant un mutiplicateur de Lagrange. Nous prouvons ensuite que le modèle obtenu est
bien posé grâce à la méthode de Galerkin et à la théorie des équations algébro-différentielles.
Enfin, nous proposons un algorithme de découplage pour résoudre et simuler numériquement la solution du modèle Biot-Naghdi.
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