Numerical simulation of Bose-Einstein condensates
Simulation numérique de condensats de Bose-Einstein
Résumé
In this thesis, we consider a Gross–Pitaevskii (GP) energy functional as a model for rotating one component and two components Bose–Einstein condensates (BEC) in two dimensions. This model can be non-dimensionalized to highlight a strong confinement regime with strong interaction between the two components. We introduce a new discretization of this energy, featuring both finite difference and fast Fourier transform approaches, in a bounded domain of R 2 using Dirichlet boundary conditions. We develop an explicit gradient method algorithm with adaptive step and projection (EPG) over the constraints manifold for the minimization of the discrete energy. This method allows for the derivation of a stopping criterion. Moreover, we propose two post processing algorithms for the numerical minimizers. One is aimed for single vortices while the other is aimed for vortex sheets. Both algorithms detect these structures and compute their indices. In a recent article [6], the authors study the behaviour of a segregated two components BEC set into rotation. They are able to prove that for large rotation, the interface between the components gets long, conjecturing the possibility towards vortex sheets. They also study the vortex structures of BEC in a segregated regime. In this thesis, we produce numerical simulations using EPG, validating these recent theoretical results, supporting conjectures, and covering different physical cases (the cases of one component and two components in coexistence regime [45, 39]). We also illustrate the efficiency of EPG compared to the well-known GPELab method [11] which requires to solve a linearly implicit system at each step. Finally, we adapt a few theorems found in the literature to our discrete setting. We prove the existence of a global minimizer of the GP energy functional for the finite difference scheme and study some of its properties. We also work on symmetrical problems we encountered in some of the numerical simulations.
Dans cette thèse, nous considérons une fonctionnelle d'énergie Gross–Pitaevskii (GP) comme modèle d’une espèce et de deux espèces de condensats de Bose–Einstein (BEC) en deux dimensions mise en rotation. Ce modèle peut être non dimensionné pour mettre en évidence un régime de fort confinement avec une forte interaction entre les deux espèces. Nous introduisons une nouvelle discrétisation de cette énergie, comportant à la fois des approches par différences finies et par transformée de Fourier, dans un domaine borné de $\R^2$ en utilisant des conditions de Dirichlet nulles aux bords. Nous développons ainsi un algorithme de méthode de gradient explicite avec pas adaptatif et projection (EPG) sur la variété de contraintes pour la minimisation de l'énergie discrète. Cette méthode permet de dériver un critère d’arrêt. De plus, nous proposons deux algorithmes de post-traitement pour les minimiseurs numériques. L’un est destiné aux vortex simples tandis que l’autre est destiné aux nappes de vortex. Les deux algorithmes détectent ces structures et calculent leurs indices. Dans un article récent [6], les auteurs étudient le comportement d’un BEC à deux espèces en ségrégation et mis en rotation. Ils sont capables de prouver que pour une forte rotation, l’interface entre les espèces devient longue, conjecturant la possibilité vers des nappes de vortex. Ils étudient également les structures des vortex du BEC en régime de ségrégation. Dans cette thèse, nous produisons des simulations numériques à l’aide d’EPG, validant ces résultats théoriques récents, supportant des conjectures, et couvrant différents cas physiques (les cas d’une espèce et de deux espèces en régime de co-existence [45, 39]). Nous illustrons également l’efficacité d’EPG par rapport à la méthode bien connue GPELab [11] qui nécessite de résoudre un système linéaire implicite à chaque étape. Enfin, nous adaptons quelques théorèmes trouvés dans la littérature à notre cadre discret. Nous prouvons l’existence d’un minimiseur global de la fonctionnelle d’énergie GP pour le schéma aux différences finies et étudions certaines de ses propriétés. Nous travaillons également sur des problèmes symétriques rencontrés dans certaines simulations numériques.
| Origine | Fichiers produits par l'(les) auteur(s) |
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