L'intégration approchée des équations différentielles ordinaires (1671-1914) - Archive ouverte HAL Access content directly
Theses Year : 1996

## L'intégration approchée des équations différentielles ordinaires (1671-1914)

Dominique Tournès

#### Abstract

For three centuries, the theory of differential equations has occupied a central place in mathematics. Indeed, applications (celestial mechanics, ballistics, mathematical physics...) constantly give rise to problems leading to differential equations and, to a large extent, it is the will to integrate these equations that leads to the development of the methods of Analysis. However, historians have studied the theory of differential equations relatively little and, until now, they have mainly devoted themselves to its algebraic and geometric aspects. For our part, we have chosen to focus on the numerical framework, looking at the history of the numerical analysis of ordinary differential equations from 1671 to 1914. The expression "numerical analysis" must be taken here in its noblest sense: we see in it the meeting point between mathematical analysis and numerical calculation. This duality is well highlighted by the expression "approximate integration", which has the advantage of reminding us that any approximation process has both an analytical and a numerical character. Moreover, why the reference period 1671-1914? On the one hand, 1671 is the year in which Newton composed his treatise on fluxions and infinite sequences, a text in which we find the first systematic attempt to express the solution of any differential equation in the form of an infinite series. On the other hand, 1914 is the traditional term that historians use for the 19th century, but it is also the precise moment when the ballistic research generated by the first - and then the second - world conflict brought numerical analysis into the modern era, by provoking the automation of calculations and the appearance of electronic calculators. In general, we show that the main methods of approximation that can be distinguished (method of series, method of finite differences with separate steps, method of successive approximations, method of finite differences with linked steps and graphical method) were born and developed within applied mathematics, with a predominant role played by celestial mechanics. The history of each of these methods is reconstructed in detail, thanks to a systematic return to the original texts and the study of numerous examples of actual calculations.
Depuis trois siècles, la théorie des équations différentielles occupe une place centrale au sein des mathématiques. En effet, les applications (mécanique céleste, balistique, physique mathématique…) font constamment surgir des problèmes conduisant à des équations différentielles et, dans une large mesure, c’est la volonté d’intégrer ces équations qui entraîne le développement des méthodes de l’Analyse. Pourtant, les historiens ont relativement peu étudié la théorie des équations différentielles et, jusqu’ici, ils se sont surtout consacrés à ses aspects algébrique et géométrique. De notre côté, nous avons choisi de nous centrer sur le cadre numérique, en nous intéressant à l’histoire de l’analyse numérique des équations différentielles ordinaires de 1671 à 1914. L’expression “analyse numérique” doit être prise ici en son sens le plus noble : nous y voyons le point de rencontre entre l’analyse mathématique et le calcul numérique. Cette dualité est bien mise en évidence par l’expression “intégration approchée”, qui a l’avantage de rappeler que tout processus d’approximation présente à la fois un caractère analytique et un caractère numérique. Par ailleurs, pourquoi la période de référence 1671-1914 ? D’un côté, 1671, c’est l’année où Newton compose son traité sur les fluxions et les suites infinies, texte dans lequel on trouve la première tentative systématique pour exprimer la solution d’une équation différentielle quelconque sous forme de série infinie. De l’autre côté, 1914, c’est le terme traditionnel que les historiens fixent au 19e siècle mais c’est aussi le moment précis où les recherches balistiques engendrées par le premier – puis le second – conflit mondial font basculer l’analyse numérique dans l’époque moderne, en provoquant l’automatisation des calculs et l’apparition des calculateurs électroniques. De façon générale, nous montrons que les principales méthodes d’approximation que l’on peut distinguer (méthode des séries, méthode des différences finies à pas séparés, méthode des approximations successives, méthode des différences finies à pas liés et méthode graphique) naissent et se développent au sein des mathématiques appliquées, avec un rôle prépondérant joué par la mécanique céleste. L’histoire de chacune de ces méthodes est reconstituée en détail, grâce à un retour systématique aux textes originaux et à l’étude de nombreux exemples de calculs effectifs.

### Dates and versions

tel-03948671 , version 1 (20-01-2023)

### Licence

Attribution - NonCommercial - NoDerivatives - CC BY 4.0

### Identifiers

• HAL Id : tel-03948671 , version 1

### Cite

Dominique Tournès. L'intégration approchée des équations différentielles ordinaires (1671-1914). Histoire et perspectives sur les mathématiques [math.HO]. Université Paris-Diderot (Paris 7), 1996. Français. ⟨NNT : 1996PA070075⟩. ⟨tel-03948671⟩

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