ON CONTINUOUS SIMPLE GAMES
SUR LES JEUX SIMPLES
Résumé
In the context of collective decision-making, decision rules are typically used to aggregate
the opinions of community members into a final outcome. For this purpose, several decision
models have been proposed and studied in the literature. This is the case for simple games
by Neumann et al. (1947), voting games with abstention by Felsenthal and Machover (1997),
(j; k) simple games by Freixas and Zwicker (2003) and continuous simple games introduced
by Kurz (2014). Our work focuses on the study of the continuous simple games. One of
the central problems common to the previous classes of games concerns the issue of power
measurement. In other words, can we formalize the ability of a member of the community to
influence the final outcome? The Shapley-Shubik index, see Shapley and Shubik (1954) and
the influence relation introduced by Isbell (1958) are tools that were designed to evaluate
power distribution in a simple game. They were generalised to (j; k) simple games and to
continuous simple games, see Freixas (2005b), Pongou et al. (2011) and Kurz (2014). For
these classes of games, many mathematical challenges are still to be tackled, principally
those of axiomatizing and comparing of these power measurements.
In the first part of our contribution, we show that any continuous simple game viewed
as a multivariate real-valued function is Riemann integrable; this result allows us to justify
that the extension of the Shapley-Shubik index proposed by Kurz (2014) is well defined in
the whole set of all continuous simple games. We also show that the Shapley-Shubik index
for simple games as well as for (j; k) simple games appears as a special discretization of
that one for continuous simple games. In the second part, we propose a rather simple and
convenient formula of the Shapley-Shubik index for (j; k) simple games and provide the first
axiomatic justification of this index. We also obtain two characterizations of the same index
in the context of continuous simple games. The last part of our investigation leads us to the
study of the properties of the influence relation introduced by Kurz (2014) on continuous
simple games. We mainly characterize the class of continuous simple games on which this
relation is complete, and show that it is a preordering whenever it is complete. In order to
compare the influence relation and the preordering induced by the Shapley-Shubik index,
we provide a sufficient condition for which these two relations coincide.
Dans une situation de prise de décision collective, les règles de décision sont généralement
utilisées pour agréger les avis des membres de la collectivité en un résultat final. A cet effet,
plusieurs modèles de décision ont été proposés et étudiés dans la littérature, notamment
les jeux simples par Neumann et al. (1947), les jeux de vote avec abstention par Felsenthal
and Machover (1997), les (j; k) jeux simples par Freixas and Zwicker (2003) et les jeux
simples continus introduits par Kurz (2014). Notre travail porte sur l’étude des jeux simples
continus. L’une des problématiques centrale commune aux classes de jeux précédents porte
sur le problème de la mesure du pouvoir de décision, autrement dit, peut-on formaliser
l’aptitude d’un membre de la collectivité à influencer le résultat final? L’indice de ShapleyShubik défini par Shapley and Shubik (1954) ainsi que la relation d’influence de Isbell
(1958) font partie des outils qui ont été conçus pour évaluer le pouvoir de décision dans un
jeu simple. Ils ont été généralisés aux (j; k) jeux simples; puis aux jeux simples continus.
Sur ces classes de jeux, beaucoup de défis mathématiques restent à relever, notamment ceux
d’axiomatisation et de comparaison de ces mesures de pouvoir.
Dans la première partie de notre travail, nous montrons que les jeux simples continus
comme fonctions à plusieurs variables sont Riemann intégrables; ce résultat permet de
justifier que l’extension de l’indice de Shapley-Shubik aux jeux simples continus proposée
par Kurz (2014) est bien défini. Nous montrons en plus que l’indice de Shapley-Shubik
sur les jeux simples tout comme sur les (j; k) jeux simples est une discrétisation de celui
des jeux simples continus. Dans la deuxième partie, nous proposons une formule simple et
pratique de l’indice de Shapley-Shubik sur les (j; k) jeux simples et nous fournissons la toute
première justification axiomatique de cet indice. Nous obtenons aussi deux caractérisations
du même indice dans le cadre des jeux simples continus. Dans la dernière partie, nous
étudions les propriétés de la relation d’influence introduite par Kurz (2014) sur les jeux
simples continus. Principalement nous caractérisons la classe des jeux simples continus sur
laquelle cette relation est complète et nous montrons qu’elle est un préordre dès qu’elle est
complète. Pour comparer la relation d’influence et le préordre induit par l’indice de ShapleyShubik, nous proposons une condition suffisante pour que ces deux relations coïncident.
Origine : Fichiers produits par l'(les) auteur(s)