Mathematical and numerical study of a Gross-Clark-Schrödinger system
Étude mathématique et numérique d'un système de Gross-Clark-Schrödinger
Résumé
This thesis deals with the study of a Gross-Clark-Schrödinger system which models the motion of
an impurity in a Bose condensate.
We have first shown that the Cauchy problem for this system is globally well posed in the associated
energy space. The approach used is quite classical and is based on Strichartz type estimates and on a
fixed point theorem.
In a second step, we are interested in the travelling waves of this system. These special solutions
have been studied since 1974 by physicists using formal asymptotic developments and some numerical
simulations. In one dimension space the existence of these solutions and some properties have been
rigorously established in 2006. Despite several attempts, there is no rigorous proof in the literature
of the existence of travelling waves in dimension greater than or equal to two. We have used several
approaches to show the existence, based on ideas and tools recently developed in Calculus of Variations. One of them consists in minimizing the energy associated to the system under two constraints,
at constant mass and constant momentum. We have shown that minimizing travelling waves exist
for any pair (moment, mass) that verifies a strict subadditivity condition of the minimal energy as a
function of two variables.
In parallel, we have performed numerical simulations that have well highlighted the travelling waves
in the cases that correspond to the physical applications, we have obtained their profiles and we have
calculated their energy levels.
We have also studied other types of special solutions, including zero-momentum ground states and
bubble-vortex solutions.
Cette thèse porte sur l'étude d'un système de Gross-Clark-Schrödinger qui modélise le mouvement
d'une impureté dans un condensat de Bose.
Nous avons d'abord montré que le problème de Cauchy pour ce système est globalement bien posé
dans l'espace d'énergie associé. L'approche utilisée est assez classique et est basée sur des estimations
de type Strichartz ainsi que sur l'utilisation d'un théorème de point fixe.
Dans un second temps nous nous sommes intéressés aux ondes progressives de ce système. Ces
solutions spéciales ont été étudiées dès 1974 par des physiciens à l'aide des développements asymptotiques formels et de quelques simulations numériques. En dimension un d'espace l'existence de ces
solutions et quelques propriétés ont été établies rigoureusement en 2006. Malgré plusieurs tentatives, il
n'existe dans la littérature aucune preuve rigoureuse de l'existence des ondes progressives en dimension
supérieure ou égale à deux. Nous avons utilisé plusieurs approches pour montrer l'existence, basées sur
des idées et des outils récemment développés en Calcul des Variations. Une d'elles consiste à minimiser
l'énergie associée au système sous deux contraintes, à masse constante et à moment constant. Nous
avons montré que les ondes progressives minimisantes existent pour tout couple (moment, masse) qui
vérifie une condition de stricte sous-additivité de l'énergie minimale comme fonction de deux variables.
En parallèle, nous avons effectué des simulations numériques qui ont bien mis en évidence les ondes
progressives dans les cas qui correspondent aux applications physiques, nous avons obtenu leurs profils
et nous avons calculé leurs niveaux d'énergie.
Nous avons étudié également d'autres types de solutions spéciales, notamment les états fondamentaux de moment nul et les solutions de type bulle-vortex.
Origine : Fichiers produits par l'(les) auteur(s)